Le jacobien de cette transformation est :
D(x,y)
D(x,s)
=
10
−11
= 1
d’où l’intégrale :
G(z) =
+∞
−∞
dx
z−x
−∞
f (x,y)dy =
+∞
−∞
dx
z
−∞
f (x,s − x)ds
qui peut s’écrire sous la forme :
G(z) =
z
−∞
g(s)ds
ce qui permet de mettre en évidence la densité de Z , soit :
g(s) =
+∞
−∞
f (x,s − x)dx
Dans le cas particulier où X et Y sont indépendantes, la loi de Z = X + Y
se détermine à partir des densités marginales f X et f Y :
G(z) =
+∞
−∞
z
−∞
f X (x) f Y (s − x)dsdx =
z
−∞
g(s)ds
où la densité g de Z est définie par :
g(z) =
+∞
−∞
f X (x) f Y (z − x)dx =
+∞
−∞
f X (z − y) f Y (y)dy
et g s’appelle alors le produit de convolution de f X et f Y .
Exemple 4.12
Soit X et Y deux v.a. indépendantes et de même loi de Laplace, ou double
exponentielle, de densité
1
2
e
−|t| . On a vu que la densité du couple
(X,Z = X + Y ) était f X (x) f Y (z − x) et la densité marginale de Z s’obtient donc par intégration :
g(z) =
+∞
−∞
f X (x) f Y (z − x)dx =
+∞
−∞
1
2
e
−|x| 1
2
e
−|z−x| dx
=
1
4
z
−∞
e
−z+x−|x| dx +
1
4
+∞
z
e
z−x−|x| dx
122 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS