Lorsque l’on quitte le domaine sur l’horizontale de M (même ordonnée) ou
sur la verticale de M (même abscisse), la valeur de F en ces points extérieurs à
D est la même qu’au point d’intersection de l’horizontale ou de la verticale avec
la frontière de D .
B. Lois marginales
Les fonctions de répartition marginales de X et Y sont définies à partir de la f.r.
du couple par :
F X (x) = P(X < x) = F(x,+∞)
F Y (y) = P(Y < y) = F(+∞,y)
c’est-à-dire en faisant tendre y , respectivement x, vers plus l’infini. Dans le cas
d’une loi absolument continue, les densités marginales sont alors obtenues par
dérivation de ces f.r. marginales.
Cependant, si la loi du couple est définie par sa densité, les densités marginales sont obtenues plutôt par intégration :
f X (x) =
+∞
−∞
f (x,y)dy
f Y (y) =
+∞
−∞
f (x,y)dx
Exemple 4.7
Si nous reprenons la loi de l’exemple 4.6 précédent, en faisant tendre y
vers plus l’infini dans l’expression de F , on obtient :
F X (x) = F(x,+∞) = 1 − e
−x
pour x > 0
et par dérivation : f X (x) = e
−x pour x > 0 , densité de la loi exponentielle
ou γ(1) .
Couple et vecteur aléatoires 117
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M(x,y)
M(x,y)
M(x,y)
D
0
M(x,y)
1
Figure 4.4