Si maintenant le point (x 0 ,y 0 ) est dans la zone où la densité f est strictement positive, soit 0 x 0 y 0 :
F(x 0 ,y 0 ) =
x 0
−∞
y 0
−∞
f (x,y)dxdy =
x=x 0
x=0
(
y=y 0
y=x
e
−y dy)dx
=
x 0
0
[−e
−y ]
y 0
x dx =
x 0
0
(e
−x − e
−y 0 )dx = [−e
−x ]
x 0
0 − x 0 e
−y 0
= 1 − e
−x 0 − x 0 e
−y 0
Enfin, si 0 y 0 x 1 , on peut voir sur la figure 4.3 que :
F(x 1 ,y 0 ) = F(y 0 ,y 0 ) = 1 − e
−y 0 − y 0 e
−y 0
En résumé :
F(x,y) =
0
si x 0 ou y 0
1 − e
−x − xe
−y
si 0 x y
1 − e
−y − ye
−y
si 0 y x
Comme dans cet exemple, la densité se présente souvent sous la forme suivante :
f (x,y) =
... si (x,y) ∈ D
0 si (x,y)/ ∈ D
c’est-à-dire que la densité est non nulle seulement à l’intérieur d’un certain
domaine D . L’expression de la f.r. du couple (X,Y ) se détermine alors en déplaçant le point M(x,y) du bas à gauche vers le haut à droite, conformément à la
figure 4.4 ci-après.
116 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
y
y = x
x
xx 0
y 0
y 0
x 1
0
Figure 4.3