L’application F est croissante au sens large par rapport à chacune des deux
variables et telle que 0 F(x,y) 1 , avec pour valeurs limites
F(−∞,y) = F(x,−∞) = 0 pour tout x réel et pour tout y réel, et
F(+∞,+∞) = 1.
Si F est deux fois dérivable par rapport aux deux variables, alors la loi de
(X,Y ) est dite absolument continue, de densité f définie par :
f (x,y) =
∂
2 F(x,y)
∂ x∂ y
La fonction de répartition se calcule alors par intégration :
F(x,y) =
x
−∞
y
−∞
f (u,v)dudv
Exemple 4.6
La loi de (X,Y ) est définie par la densité :
f (x,y) =
e
−y
si 0 x y
0
sinon
Les valeurs de la f.r. F vont être déterminées selon la zone d’appartenance du point (x 0 ,y 0 ) , en intégrant la densité f sur l’intersection du
domaine où elle est non nulle avec la partie du plan à gauche et au-dessous du point (voir figure 4.3). On obtient de façon évidente :
F(x 0 ,y 0 ) = 0 si x 0 0 ou y 0 0
Couple et vecteur aléatoires 115
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y
M(x,y)
x
0 0
Figure 4.2