P(X = x|S = s) =
P(X = x)P(S = s|X = x)
P(S = s)
=
P(X = x)P(Y = s − x)
P(S = s)
=
n 1
x
p
x q
n 1 −x
n 2
s − x
p
s−x q
n 2 −s+x
n 1 + n 2
s
p s q n 1 +n 2 −s
=
n 1
x
n 2
s − x
n 1 + n 2
s
Exemple 4.5
Convolution de lois de Poisson
Si X et Y sont deux v.a. indépendantes de lois de Poisson respectives
P (λ) et P (µ) , alors Z = X + Y est une v.a. à valeurs dans N ,a v e c
pour tout entier k :
P(Z = k) =
x+y=k
P(X = x)P(Y = y) =
x∈N
P(X = x)P(Y = k − x)
=
k
x=0
P(X = x)P(Y = k − x) =
k
x=0
e
−λ λ
x
x!
e
−µ µ
k−x
(k − x)!
=
e
−(λ+µ)
k!
k
x=0
k!
x!(k − x)!
λ
x µ
k−x =
e
−(λ+µ)
k!
(λ + µ)
k
On retrouve bien comme résultat : X + Y P(λ + µ) .
II. Couple de v.a. continues
A. Loi du couple
Si X et Y sont deux v.a. réelles continues, la loi de probabilité du couple (X,Y )
est déterminée par sa fonction de répartition F ,définie sur R
2 par :
F(x,y) = P(X < x,Y < y)
La valeur F(x,y) représente la probabilité de la zone hachurée indiquée
dans la figure 4.2.
114 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS