avec pour s ∈ S :
{S = s} =
s
x=0
{(X = x) ∩ (Y = s − x)}
Ainsi :
P (S = s) =
s
x=0
P(X = x)P(Y = s − x)
=
s
x=0
n 1
x
p
x q
n 1 −x
n 2
s − x
p
s−x q
n 2 −s+x
= p
s q
n 1 +n 2 −s
s
x=0
n 1
x
n 2
s − x
=
n 1 + n 2
s
p
s q
n 1 +n 2 −s
ce qui indique que S = X + Y suit une loi binômiale B(n 1 + n 2 , p) . Le
résultat :
s
x=0
n 1
x
n 2
s − x
=
n 1 + n 2
s
exprime que le nombre de sous-ensembles de s éléments extraits d’un
ensemble comportant n 1 éléments d’une sorte et n 2 éléments d’une autre
est obtenu à partir des sous-ensembles associés de x éléments de la première sorte et de s − x éléments de l’autre, avec x variant de 0 à s (voir
figure 4.1).
Couple et vecteur aléatoires 113
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x
n 1
n 2
s – x
s s
Figure 4.1
Nous allons établir maintenant que la loi d’une variable conditionnellement à une valeur fixée de la somme est une loi hypergéométrique. La loi
de X , conditionnellement à S= s par exemple, est définie pour
x ∈ {0,1,...,n 1 } par :