D. Moments conditionnels
Aux lois conditionnelles sont associés des moments conditionnels, comme par
exemple l’espérance conditionnelle de Y pour X = x i fixé, qui est l’espérance
de la loi définie par les couples
y j , p
i
j
; j ∈ J
, soit :
E (Y |X = x i ) =
j∈J
y j P
Y = y j |X = x i
=
j∈J
y j p
i
j
Le graphe de cette espérance conditionnelle en fonction de x i s’appelle courbe de régression (non linéaire) de Y en X .
Exemple 4.2
Dans l’exemple 4.1 précédent, la loi conditionnelle de Y pour X = 2 est
donnée par le tableau suivant :
110 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
On peut calculer, à partir de ce tableau, l’espérance conditionnelle :
E (Y |X = 2) = (−1) ×
1
3
+ 2 ×
2
3
= 1
Notons que E (Y |X) est une fonction de X , donc une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est définie par l’ensemble des valeurs possibles,
soit ici {E (Y |X = x i ) ; i ∈ I } , et les probabilités associées p i. = P (X = x i ) .
On peut donc calculer la valeur moyenne de cette v.a., soit :
E [E (Y |X)] =
i∈I
p i. E (Y |X = x i )
=
i∈I
p i.
j∈J
y j P
Y = y j |X = x i
=
i∈I
p i.
j∈J
y j p
i
j =
i∈I
j∈J
y j p i.
p ij
p i.
=
j∈J
y j
i∈I
p ij
=
j∈J
p . j y j
= E(Y )
Y |X = 2
– 1
2
0,1
0,3
0,2
0,3
1