dans une colonne donnée). Par exemple, pour Y = y j fixé, la loi conditionnelle
de X est définie par l’ensemble des valeurs possibles et les probabilités associées :
P
X = x i |Y = y j
=
P
X = x i ,Y = y j
P
Y = y j
=
p ij
p . j
= p
j
i
on vérifie que c’est bien une loi de probabilité sur X = {x i ; i ∈ I } :
i∈I
p
j
i =
1
p . j
i∈I
p ij = 1
Exemple 4.1
La loi d’un couple (X,Y ) est donnée par le tableau suivant :
Couple et vecteur aléatoires 109
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– 1
2
– 2
0
2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,2
0,3
0,4
0,3
0,4
0,6
1
X
Y
La loi conditionnelle de X pour Y =−1 figure dans le tableau ci-après :
Rappelons que les deux v.a. X et Y sont indépendantes si pour tout i ∈ I et
tout j ∈ J :
P(X = x i ,Y = y j ) = P(X = x i )P(Y = y j )
Dans ce cas, bien entendu, les lois conditionnelles sont confondues avec les
lois marginales ; par exemple :
P
X = x i |Y = y j
= p
j
i =
p i. p . j
p . j
= p i.
C’est l’un des seuls cas où la donnée des lois marginales permet de reconstituer la loi du couple.
X|Y =−1
– 2
0
2
0,1
0,4
0,2
0,4
0,1
0,4
1