Lois usuelles 105
et :
h(x) = αθx
α−1
on retrouve bien le résultat obtenu pour la loi exponentielle en faisant α = 1.
Exercice n°18
On calcule l'espérance de X de loi log-normale de paramètres m et σ en faisant le changement de variable y = lnx :
E(X ) =
1
σ
√
2π
+∞
0
exp −
1
2σ 2 (lnx − m)
2 dx
=
1
σ
√
2π
+∞
−∞
e
y exp −
1
2σ 2 (y − m)
2 dy
=
1
σ
√
2π
+∞
−∞
exp −
1
2σ 2
y
2 − 2(m + σ
2 )y + m
2
dy
=
1
σ
√
2π
exp
1
2σ 2
(m + σ
2 )
2 − m
2
+∞
−∞
exp −
1
2σ 2
y − (m + σ
2 )
2 dy
=
1
σ
√
2π
exp
1
2σ 2 (2mσ
2 + σ
4 )
σ
√
2π = exp(m + σ
2 /2)
On obtient de la même façon :
E(X
2 ) = exp
2m + 2σ
2
et V (X) = (e
σ 2 − 1)exp
2m + σ
2
Exercice n°19
Pour déterminer la f.r. de m n , on considère l'événement :
{m n y} =
n
i=1
{X i y}
De même, pour que M n soit inférieur à z il faut et il suffit que tous les X i soient inférieurs à z, ce qui s'écrit :
{M n < z} =
n
i=1
{X i < z}
On en déduit, du fait de l'indépendance des X i et de l'identité de leur loi :
G(y) = P(m n < y) = 1 − P
n
i=1
{X i y}
= 1 − [1 − F(y)]
n
H (z) = P(M n < z) =
n
i=1
P (X i < z) = F
n (z)
Les densités correspondantes s'obtiennent par dérivation :
g(y) = nf(y) [1 − F(y)]
n−1
h(z) = nf(z)F
n−1 (z)
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