P
X − m
σ
<
2 − m
σ
= (−1,5)
P
X − m
σ
<
12 − m
σ
= (1)
soit
2 − m
σ
=−1,5 et
12 − m
σ
= 1 d'où m = 8 et σ = 4. On sait que la v.a.
X − m
σ
2
suit une loi χ
2
1 donc a/σ
2 est le fractile d'ordre 0,95 de cette loi χ
2
1 ,l u
dans la table 5, soit a/σ
2 = 3,841 et a = 61,44.
Exercice n°13
Si f est la densité de cette loi uniforme, cette probabilité se calcule par :
p = P {X ∈ [x 1 ,x 2 ]} =
x 2
x 1
f (t) dt
La densité a pour valeur 1 dans l'intervalle [0,1] et 0 en dehors. La valeur de p est donc
égale à la longueur de la partie commune des intervalles [0,1] et [x 1 ,x 2 ] . Elle est indiquée dans le tableau suivant, en fonction de la position de x 1 et x 2 :
Lois usuelles 103
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x 2 < 0 x 1 < 0 < x 2 < 1 x 1 < 0 < 1 < x 2 0 < x 1 < x 2 < 10 < x 1 < 1 < x 2 1 < x 1
0
x 2
1
x 2 − x 1
1 − x 1
0
Exercice n°14
La v.a. Y a pour fonction de répartition :
G(y) = P(ln X < y) = P(X < e
y ) = F(e
y )
où F est la f.r. de X. La densité obtenue par dérivation est :
g(y) = e
y f (e
y ) =
1
√
2πθ
exp −
y
2
2θ
qui est la densité de la loi normale centrée de variance θ.
Exercice n°15
1) On détermine la f.r. de la v.a.U =
X − λ
θ
:
G(u) = P(U < u) = P(X <θu + λ) = F(θu + λ)
où F est la f.r. de X. Par dérivation on obtient la densité de U :
g(u) = θ f (θu + λ) = e
−u
pour u > 0. C’est donc la loi exponentielle avec G(u) = 1 − e
−u pour u > 0,e t
E(U ) = V (U ) = 1. On en déduit E(X) = θ + λ, V (X) = θ
2 et pour x >λ: