On obtient ensuite :
P(X = 0) =
1
6
P(X = 1) =
1
2
P(X = 2) =
3
10
P(X = 3) =
1
30
E(X) =
1
2
+
3
5
+
1
10
= 1,2
En utilisant la formule du cours on retrouve E(X) = 3
4
10
= 1,2.
Exercice n°6
1) Il s’agit de la loi binômiale négative ; pour tout entier k 2 :
P(X = k) = (k − 1)
2
k−2
3 k
2) La probabilité d’être sélectionné est :
P(X 4) =
4
k=2
P(X = k) =
11
27
Exercice n°7
1) Par lecture de la table 3 on obtient : P(X = 5) = 0,0319,P(X 2) = 0,6769 ,
P(X < 4) = 0,8670,P(X = 1,5) = 0, P(3 X 4) = 0,2799
et P(2 < X 8)
= 0,9999 − 0,6769 = 0,3230.
2) La condition P(X < x) 0,25 équivalente à P(X x − 1) 0,25 conduit à
x − 1 1 ou x 2.
3) Si X B (n, p) on a P p (X = x) =
n
x
p
x (1 − p)
n−x et P p (X = n − x)
=
n
n − x
p
n−x (1 − p)
x =
n
x
q
x (1 − q)
n−x où on a posé q = 1 − p. Par conséquent
P p (X = x) = P 1− p (X = n − x) , soit en appliquant ce résultat : P 0,9 (X = 16)
= P 0,1 (X = 4) = 0,0898.
Exercice n°8
Par lecture de la table 4 on obtient : P(X = 6) = 0,1462,P(X < 4) = 0,2650 ,
P(X 5) = 0,5595 et P(π/2 < X < 2π) = P(X 6) − P(X 1) = 0,7218. On lit
P(X < 10) = 0,9682 donc x 10.
Exercice n°9
La v.a. X suit une loi binômiale de paramètres 5 et 1/2. Un pays est gagnant si X 3 ;
la probabilité demandée est donc :
P {D ∩ (X 3)} =
5
k=3
P {D ∩ (X = k)} =
5
k=3
P (X = k) P {D |X = k }
Si un pays a gagné k matchs, tous les choix parmi les cinq rencontres sont équiprobables,
donc :
P {D |X = k } =
(
4
k−1
)
(
5
k
)
Lois usuelles 101
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