Exercice n°3
1) Les tirages sont effectués jusqu'à ce que l'on obtienne une boule blanche, donc la
variable N suit une loi de Pascal de paramètre p = 1/2 puisque c'est la probabilité de
tirer une boule blanche :
P(N = n) =
1
2 n
D'après les résultats du cours : E(N ) = V (N ) = 2.
2) Si on note respectivement B i et N i les événements tirer une boule blanche et tirer une
boule noire au i-ème tirage, i ∈ N
∗ , la loi de la variable entière N est définie par :
P (N = 1) = P(B 1 ) =
1
2
P (N = 2) = P(N 1 B 2 ) =
1
2
×
1
3
...
P (N = n) = P(N 1 ...N n−1 B n ) =
1
2
×
2
3
× ...×
n − 1
n
×
1
n + 1
=
1
n(n + 1)
Ainsi :
E(N ) =
1
2
+
∞
n=2
n
1
n(n + 1)
=
∞
n=2
1
n
série harmonique divergente, donc l'espérance est infinie. A fortiori la variance n'existe
pas non plus.
On obtient :
P (N > n) = 1 − P(N n) = 1 −
n
k=1
P(N = k)
= 1 −
1
2
−
n
k=2
1
k
−
1
k + 1
=
1
n + 1
Exercice n°4
La v. a. X suit une loi géométrique (de Pascal) ; pour tout entier k 1 :
P(X = k) =
3
k−1
4 k
On obtient ensuite :
P(X 3) =
3
k=1
P(X = k) =
37
64
Le paramètre de cette loi est 1/4 donc E(X) = 4 .
Exercice n°5
La v. a. X suit une loi hypergéométrique ; pour tout entier 0 k 3 :
P(X = k) =
4
k
6
3 − k
10
3
100 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS