Exercice n°20
Déterminer les moments non centrés d'ordre k, k ∈ N
∗ , de la loi de Pareto de paramètres α>0 et x 0 > 0.
Corrigés
Exercice n°1
1) On note P i l’événement « le réacteur i est tombé en panne au cours du vol »,a v e c
i = 1,2. On obtient :
π = P
P 1 ∩ P 2
= 1 − P(P 1 ∩ P 2 ) = 1 − p
2
2) Le nombre de réacteurs qui tombent en panne au cours du vol est une variable aléatoire X qui suit une loi binômiale de paramètres 4 et p. Ainsi :
π Q = P(X 2) = 1 − P(X = 3) − P(X = 4) = 1 − 4 p
3 (1 − p) − p
4
= 1 − 4 p
3 + 3 p
4
3) On obtient :
π Q − π B = p
2 (1 − p)(1 − 3 p)
donc le biréacteur est plus sûr que le quadriréacteur pour p > 1/3 .
On vérifie que π B
1
2
=
12
16
>π Q
1
2
=
11
16
.
Exercice n°2
Si N est le nombre de parties jouées, l'événement {N = n} , n ∈ N
∗ , signifie que le
joueur a perdu les n − 1 premières parties et que son numéro est sorti à la dernière ; cette
v.a. suit donc une loi de Pascal de paramètre p :
P(N = n) = (1 − p)
n−1 p
À l'issue de ces n parties, le joueur reçoit k fois sa mise, soit k2
n−1 a ,après avoir misé au
cours de ces parties : a + 2a + 2
2 a + ...+ 2
n−1 a = a(1 + 2 + 2
2 + ...+ 2
n−1 )
= a (2
n − 1) . Son gain est alors : g n = k2
n−1 a − (2
n − 1) a = a + (k − 2)2
n−1 a.
L'espérance de gain est donc :
E(G) =
∞
n=1
g n P(N = n) = a + (k − 2)ap
∞
n=1
2
n−1 (1 − p)
n−1
= a + (k − 2)ap
∞
n=1
(2q)
n−1
où on a posé q = 1 − p . Si q 1/2, la série est divergente et cette espérance est infinie. Si q < 1/2 , c'est-à-dire p > 1/2 , on obtient :
E(G) = a + (k − 2)a
p
1 − 2q
=
kp − 1
2 p − 1
a
Pour k = 2 par exemple, E(G) = a, c'est-à-dire que l'espérance de gain du joueur est
égale à sa mise initiale.
Lois usuelles 99
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