Exercice n°14
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression, pour x > 0 :
f (x) =
1
x
√
2πθ
exp −
(ln x)
2
2θ
avec θ>0
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y = ln X.
Exercice n°15
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression, pour x >λ:
f (x) =
1
θ
exp
−
x − λ
θ
et nulle sinon, où θ et λ sont deux réels strictement positifs.
1) Calculer E(X) et V (X) puis déterminer la fonction de répartition F de X.
2) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. m n = min{X 1 ,...,X n } ,o ù X 1 ,. . . ,X n sont
des v.a. indépendantes et de même loi que X.
Exercice n°16
Si T est une v.a. positive représentant une durée de vie, on dit qu'elle vérifie la propriété
de non-vieillissement si pour tout t > 0 et h > 0 :
P (T > t + h|T > t) = P (T > h)
Montrer que la loi de Pascal et la loi exponentielle de paramètre θ>0 vérifient cette propriété, c'est-à-dire sont des lois sans mémoire.
Exercice n°17
Si F et f sont respectivement la f.r. et la densité d'une v.a. positive, on désigne par taux de
panne la fonction h définie pour x > 0 par :
h(x) =
f (x)
1 − F(x)
Déterminer cette fonction h pour la loi exponentielle de paramètre θ>0 et pour la loi
de Weibull de densité f (x) = αθx
α−1 exp(−θ x
α ) pour x > 0 ,o ù α et θ sont deux
paramètres positifs.
Exercice n°18
Calculer l'espérance et la variance d'une loi log-normale de paramètres m et σ>0.
Exercice n°19
Soit X 1 ,...,X n des v.a. indépendantes de densité f et de f.r. F. Déterminer les f.r. puis
les densités des v.a. m n = min {X i /1 i n} et M n = max {X i /1 i n} .
Appliquer ce résultat au cas particulier de la loi uniforme sur [0,1] , puis calculer dans
ce cas E(m n ) et E(M n ).
98 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS