Exercice n°6
Pour être sélectionné aux Jeux olympiques, un athlète doit réussir deux fois à dépasser
les minima fixés par sa fédération. Il a une chance sur trois de réussir à chaque épreuve
à laquelle il participe. On note X la variable aléatoire qui représente le nombre
d’épreuves auxquelles il devra participer pour être sélectionné.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Si cet athlète ne peut participer qu’à quatre épreuves maximum, quelle est la probabilité qu’il soit sélectionné ?
Exercice n°7
Soit X une v.a. de loi binômiale de paramètres n = 20 et p = 0,1.
1) Calculer les probabilités suivantes : P(X = 5),P(X 2),P(X < 4),P(X = 1,5) ,
P(3 X 4) et P(2 < X 8).
2) Déterminer les valeurs de x telles que P(X x) 0,75.
3) Calculer P(X = 16) dans le cas où p = 0,9.
Exercice n°8
Si X est une v.a. de loi de Poisson de paramètre λ = 5 , calculer les probabilités
P(X = 6),P(X < 4),P(X 5) et P (π/2 < X < 2π) puis déterminer les valeurs
de x telles que P(X < x) 0,95.
Exercice n°9
Un commentateur sportif affirmait que le gain du match de double en coupe Davis (événement noté D), était généralement synonyme de victoire. Le pays gagnant est celui qui
remporte le plus de matchs, la rencontre comportant 4 matchs en simple et un match en
double. On fait l'hypothèse que pour ces 5 matchs chaque pays a la même probabilité de
l'emporter. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X qui représente le nombre de matchs
gagnés par une équipe. En déduire la probabilité que le pays gagnant ait effectivement
remporté le match de double. Calculer alors la probabilité qu'un pays ait remporté le
match de double, sachant qu'il a gagné. Que penser de l'affirmation de ce commentateur ?
Exercice n°10
Si U est une v.a. de loi normale standard, calculer P(U < −2),P(−1 < U < 0,5) et
P(4U −3) puis déterminer u 0 et v 0 tels que P(|U | < u 0 ) = 0,82 et
P(U < −v 0 ) = 0,61.
Exercice n°11
Soit X une v.a. de loi normale telle que P(X < 3) = 0,1587 et P(X > 12) = 0,0228 .
Calculer P(1 < X < 10).
Exercice n°12
Si X est une v.a. de loi normale telle que P(X < 2) = 0,0668 et P(X 12) = 0,1587
calculer la valeur de a telle que P
[X − E(X )]
2 < a
= 0,95.
Exercice n°13
Une v.a. X suit une loi uniforme dans l'intervalle [0,1] .
Exprimer la probabilité que X appartienne à l'intervalle [x 1 ,x 2 ] en fonction des réels x 1
et x 2 tels que x 1 < x 2 .
Lois usuelles 97
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Pour être sélectionné aux Jeux olympiques, un athlète doit réussir deux fois à dépasser
les minima fixés par sa fédération. Il a une chance sur trois de réussir à chaque épreuve
à laquelle il participe. On note X la variable aléatoire qui représente le nombre
d’épreuves auxquelles il devra participer pour être sélectionné.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Si cet athlète ne peut participer qu’à quatre épreuves maximum, quelle est la probabilité qu’il soit sélectionné ?
Exercice n°7
Soit X une v.a. de loi binômiale de paramètres n = 20 et p = 0,1.
1) Calculer les probabilités suivantes : P(X = 5),P(X 2),P(X < 4),P(X = 1,5) ,
P(3 X 4) et P(2 < X 8).
2) Déterminer les valeurs de x telles que P(X x) 0,75.
3) Calculer P(X = 16) dans le cas où p = 0,9.
Exercice n°8
Si X est une v.a. de loi de Poisson de paramètre λ = 5 , calculer les probabilités
P(X = 6),P(X < 4),P(X 5) et P (π/2 < X < 2π) puis déterminer les valeurs
de x telles que P(X < x) 0,95.
Exercice n°9
Un commentateur sportif affirmait que le gain du match de double en coupe Davis (événement noté D), était généralement synonyme de victoire. Le pays gagnant est celui qui
remporte le plus de matchs, la rencontre comportant 4 matchs en simple et un match en
double. On fait l'hypothèse que pour ces 5 matchs chaque pays a la même probabilité de
l'emporter. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X qui représente le nombre de matchs
gagnés par une équipe. En déduire la probabilité que le pays gagnant ait effectivement
remporté le match de double. Calculer alors la probabilité qu'un pays ait remporté le
match de double, sachant qu'il a gagné. Que penser de l'affirmation de ce commentateur ?
Exercice n°10
Si U est une v.a. de loi normale standard, calculer P(U < −2),P(−1 < U < 0,5) et
P(4U −3) puis déterminer u 0 et v 0 tels que P(|U | < u 0 ) = 0,82 et
P(U < −v 0 ) = 0,61.
Exercice n°11
Soit X une v.a. de loi normale telle que P(X < 3) = 0,1587 et P(X > 12) = 0,0228 .
Calculer P(1 < X < 10).
Exercice n°12
Si X est une v.a. de loi normale telle que P(X < 2) = 0,0668 et P(X 12) = 0,1587
calculer la valeur de a telle que P
[X − E(X )]
2 < a
= 0,95.
Exercice n°13
Une v.a. X suit une loi uniforme dans l'intervalle [0,1] .
Exprimer la probabilité que X appartienne à l'intervalle [x 1 ,x 2 ] en fonction des réels x 1
et x 2 tels que x 1 < x 2 .
Lois usuelles 97
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