On obtient ainsi :
µ 2 =
1
θ 2 ,µ 3 =
2
θ 3 et µ n =
n!
θ n
n
k=2
(−1)
k
k!
, n 2
Énoncés
Exercice n°1
1) Vous effectuez un voyage en avion à bord d’un biréacteur qui peut poursuivre son vol
avec un seul réacteur qui fonctionne. Les réacteurs fonctionnent de façon indépendante
et ont chacun une probabilité p de tomber en panne au cours du vol. Calculer en fonction
de p la probabilité π B que votre vol ait pu se poursuivre jusqu’à sa destination.
2) Dans le cas d’un quadriréacteur, qui peut poursuivre son vol avec au moins deux réacteurs qui fonctionnent, calculer en fonction de p la probabilité π Q que votre vol ait pu se
poursuivre jusqu’à sa destination.
3) Pour quelles valeurs de p le biréacteur est-il plus sûr que le quadriréacteur ? Calculer
π B et π Q pour p =
1
2
.
Exercice n°2
Au casino, un joueur décide de miser sur un même numéro (ou série de numéros), jusqu'à ce qu'il gagne. Sa mise initiale est a > 0 , le numéro qu'il joue a la probabilité p de
sortir à chaque partie et il rapporte k fois la mise, k ∈ N
∗ . Calculer l'espérance mathématique du gain G de ce joueur qui double sa mise à chaque partie.
Exercice n°3
Une urne contient une boule blanche et une boule noire.
1) On effectue des tirages avec remise jusqu'à obtention d'une boule blanche. Déterminer
la loi de probabilité du nombre N de tirages, puis calculer E(N ) et V (N ).
2) Mêmes questions si on remet une boule noire en plus après chaque tirage d'une boule
noire. Calculer alors P(N > n), n ∈ N
∗ .
Exercice n°4
Vous avez besoin d’une personne pour vous aider à déménager. Quand vous téléphonez
à un ami, il y a une chance sur quatre qu’il accepte. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre d’amis que vous devrez contacter pour obtenir cette aide. Déterminer la
loi de probabilité de X puis calculer P(X 3) et E(X).
Exercice n°5
Lors d’un examen oral, on vous demande de tirer les trois sujets que vous aurez à traiter
dans une urne qui en contient dix. Parmi ces dix sujets, il y en a 3 que vous ne connaissez pas. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de sujets qui vous seront
inconnus à l’issue de ce tirage. Calculer les probabilités des différentes valeurs possibles
de X et en déduire E(X).
96 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Exercices
µ 2 =
1
θ 2 ,µ 3 =
2
θ 3 et µ n =
n!
θ n
n
k=2
(−1)
k
k!
, n 2
Énoncés
Exercice n°1
1) Vous effectuez un voyage en avion à bord d’un biréacteur qui peut poursuivre son vol
avec un seul réacteur qui fonctionne. Les réacteurs fonctionnent de façon indépendante
et ont chacun une probabilité p de tomber en panne au cours du vol. Calculer en fonction
de p la probabilité π B que votre vol ait pu se poursuivre jusqu’à sa destination.
2) Dans le cas d’un quadriréacteur, qui peut poursuivre son vol avec au moins deux réacteurs qui fonctionnent, calculer en fonction de p la probabilité π Q que votre vol ait pu se
poursuivre jusqu’à sa destination.
3) Pour quelles valeurs de p le biréacteur est-il plus sûr que le quadriréacteur ? Calculer
π B et π Q pour p =
1
2
.
Exercice n°2
Au casino, un joueur décide de miser sur un même numéro (ou série de numéros), jusqu'à ce qu'il gagne. Sa mise initiale est a > 0 , le numéro qu'il joue a la probabilité p de
sortir à chaque partie et il rapporte k fois la mise, k ∈ N
∗ . Calculer l'espérance mathématique du gain G de ce joueur qui double sa mise à chaque partie.
Exercice n°3
Une urne contient une boule blanche et une boule noire.
1) On effectue des tirages avec remise jusqu'à obtention d'une boule blanche. Déterminer
la loi de probabilité du nombre N de tirages, puis calculer E(N ) et V (N ).
2) Mêmes questions si on remet une boule noire en plus après chaque tirage d'une boule
noire. Calculer alors P(N > n), n ∈ N
∗ .
Exercice n°4
Vous avez besoin d’une personne pour vous aider à déménager. Quand vous téléphonez
à un ami, il y a une chance sur quatre qu’il accepte. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre d’amis que vous devrez contacter pour obtenir cette aide. Déterminer la
loi de probabilité de X puis calculer P(X 3) et E(X).
Exercice n°5
Lors d’un examen oral, on vous demande de tirer les trois sujets que vous aurez à traiter
dans une urne qui en contient dix. Parmi ces dix sujets, il y en a 3 que vous ne connaissez pas. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de sujets qui vous seront
inconnus à l’issue de ce tirage. Calculer les probabilités des différentes valeurs possibles
de X et en déduire E(X).
96 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Exercices