Pour |u| <θ on obtient donc :
H X (u) =
1
1 − u/θ
=
∞
k=0
u
k
θ k =
∞
k=0
k!
θ k ×
u
k
k!
donc m k =
k!
θ k pour tout k ∈ N .
Si X 1 ,. . . ,X n sont des v.a. mutuellement indépendantes, alors :
H X 1 +...+Xn (u) = E
e
u(X 1 +...+Xn )
= E
n
i=1
e
uX i
=
n
i=1
E
e
uX i
=
n
i=1
H X i (u)
Exemple 3.13
Dans l'exemple 3.12, on a calculé la fonction génératrice des moments de la loi
exponentielle de paramètre θ, qui est aussi la loi γ (1,θ) . En additionnant p
variables indépendantes de ce type, on obtient la loi γ ( p,θ) dont la fonction
génératrice est donc :
H X (u) =
1
1 − u/θ
p
La fonction génératrice des moments centrés est définie par :
M X (u) = e
−um 1 H X (u) = E
e
u(X−m 1 )
que l'on détermine à partir du développement en série entière :
e
u(X−m 1 ) =
∞
k=0
u
k
k!
(X − m 1 )
k
pour obtenir :
M X (u) =
∞
k=0
µ k
u
k
k!
qui permet de déduire les moments centrés à partir de cette fonction par :
µ k = E (X − m 1 )
k = M
(k)
X (0)
Exemple 3.14
Pour la loi exponentielle de paramètre θ on a m 1 = 1/θ et donc :
M X (u) = e
−u/θ ×
1
1 − u/θ
= 1 +
∞
k=2
(−u/θ)
k
k!
×
∞
j=0
u
θ
j
= 1 +
∞
k=2
∞
j=0
(−1)
k
k!
×
u
θ
j+k
= 1 +
∞
n=2
n!
θ n
n
k=2
(−1)
k
k!
×
u
n
n!
= 1 +
u
2
2θ 2 +
u
3
3θ 3 +
∞
n=4
n
k=2
(−1)
k
k!
u
n
θ n
Lois usuelles 95
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