G X (u) =
pu
1 − qu
n
La fonction génératrice est surtout utile pour déterminer les moments factoriels :
µ [k] = E [X (X − 1) ...(X − k + 1)] , k ∈ N
∗
puisqu'on obtient G
(k)
X (u) =
∞
j=k
j ( j − 1) ...( j − k + 1) p j u
j−k et par conséquent
G
(k)
X (1) = µ [k] .
Exemple 3.10
Pour la loi de Poisson, G X (u) = e
−λ e
λu donc G
(k)
X (u) = λ
k e
−λ e
λu et
µ [k] = λ
k .
La fonction génératrice des moments factoriels est donc définie par :
G X (1 + u) =
∞
k=0
µ [k]
u
k
k!
La fonction génératrice des moments pour une v.a. discrète X est définie par :
H X (u) = E
e
uX
= G X (e
u ) =
k∈K
p k e
ux k
En développant en série entière e
uX , on obtient en effet :
H X (u) = E
e
uX
=
∞
k=0
u
k
k!
E
X
k
=
∞
k=0
m k
u
k
k!
d'où on déduit m k = E
X
k
= H
(k)
X (0) pour k ∈ N
∗ , avec m 0 = 1.
Exemple 3.11
Pour la loi de Bernoulli, H X (u) = E
e
uX
= G X (e
u ) = pe
u + 1 − p , donc
H
(k)
X (u) = pe
u et m k = p pour tout k ∈ N
∗ .
B. Fonction génératrice d’une loi absolument continue
La fonction génératrice des moments, pour une v.a. X de densité f, est définie par :
H X (u) = E
e
uX
=
+∞
−∞
e
ux f (x) dx
lorsque cette intégrale généralisée existe.
Exemple 3.12
Si X E (θ) :
H X (u) = θ
+∞
0
e
(u−θ)x dx =
θ
θ − u
, pour u <θ.
94 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS