4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 93
d’une loi normale
f Y (y) =
∞
1
exp(−x
2 y)dx =
2π
2y
∞
1
1
√
2π(1/
√
2y)
exp(−x
2 y)dx.
Dans l’int´ egrale figure `
a pr´ esent la fonction de distribution d’une variable
al´ eatoire X
∗ normale d’esp´ erance nulle et de variance 1/
√
2y. Par cons´ equent
f Y (y) =
π
y
P (X
∗ > 1) =
π
y
P (Z >
2y),
o` u Z suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite. Finalement
f Y (y) =
π
y
(1 − Φ(
2y)), y > 0.
Comme f X (x)f Y (y) = f (x,y), X et Y ne sont pas ind´ ependantes.
4.5
1. Afin de v´ erifier que f (x, y) est une densit´ e, on l’int` egre par rapport `
a x
et y sur tout leur domaine
1
0
1
0
2xy +
3
2
y
2
dxdy =
1
0
x
2 y +
3
2
xy
2
x=1
x=0
dy
=
1
0
y +
3
2
y
2
dy =
y
2
2
+
y
3
2
y=1
y=0
= 1.
La fonction f (x,y) est bien une densit´ e.
2. La densit´ e marginale f X (x) de X est
f X (x) =
1
0
2xy +
3
2
y
2
dy = x +
1
2
, 0 < x < 1,
et celle de Y
f Y (y) =
1
0
2xy +
3
2
y
2
dx = y +
3
2
y
2 , 0 < y < 1.
3. On trouve la densit´ e conditionnelle f X|Y =y (x) `
a l’aide de la relation
f X|Y =y (x) =
f (x, y)
f Y (y)
.
Ainsi
f X|Y =y (x) =
4x + 3y
2 + 3y
, 0 < x < 1.
Et, de la mˆ eme mani` ere,
f Y |X=x (y) =
4xy + 3y
2
2x + 1
, 0 < y < 1.