94 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4. La probabilit´ e que X et Y appartiennent `
a l’intervalle [0, 1/2] × [0, 1/2]
est
P ((X, Y ) ∈ [0, 1/2] × [0, 1/2]) =
1/2
0
1/2
0
2xy +
3
2
y
2
dxdy
=
1/2
0
x
2 y +
3
2
xy
2
x=1/2
x=0
dy
=
1/2
0
1
4
y +
3
4
y
2
dy
=
1
8
y
2 +
1
4
y
3
y=1/2
y=0
=
1
16
.
5. Pour obtenir la probabilit´ e que Y soit sup´ erieur ` a X, on int` egre sur le
domaine suivant
P (X < Y ) =
1
0
y
0
2xy +
3
2
y
2
dxdy =
1
0
x
2 y +
3
2
xy
2
x=y
x=0
dy
=
1
0
y
3 +
3
2
y
3
dy =
5
8
y
4
y=1
y=0
=
5
8
.
6. Calculons l’esp´ erance conditionnelle E(Y | X = x) :
E(Y | X = x) =
1
0
yf Y |X=x (y)dy =
1
0
y
4xy + 3y
2
2x + 1
dy
=
1
2x + 1
4
3
xy
3 +
3
4
y
4
y=1
y=0
=
1
12
16x + 9
2x + 1
.
7. Soit Z = E(Y | X = x). Puisque X est d´ efini entre 0 et 1, le domaine de
Z est [25/36, 3/4].
(a) La fonction de r´ epartition de Z est
F Z (z) = P (Z < z) = P
1
12
16x + 9
2x + 1
< z
= P
X <
12z − 9
16 − 24z
= F X
12z − 9
16 − 24z
,
et sa fonction de densit´ e
f Z (z) = f X
12z − 9
16 − 24z
3
8
−1
(2 − 3z) 2
= −
3
8
1
(2 − 3z) 2
3
8
4z − 3
2 − 3z
+
1
2
=
3
64(2 − 3z) 3 ,
25
36
< z <
3
4
.