4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 95
x
Fig. 4.1 – Illustration de l’exercice 4.6.
(b) L’esp´ erance de Z peut se calculer de mani` ere rapide pour ´ eviter
l’int´ egrale de f Z (z)
E(Z) = E(E(Y | X)) = E(Y ) =
1
0
y
2 +
3
2
y
3
dy =
17
24
.
4.6
Les lois marginales de X et θ sont uniformes et leur fonction de densit´ e sont
f θ (θ) =
2
π
,
0 < θ <
π
2
et
f X (x) = 2,
0 < x <
1
2
.
Les variables al´ eatoires X et θ sont ind´ ependantes et, par cons´ equent, la densit´ e
conjointe de X et θ est
f (x,θ) =
4
π
.
Au vu de la figure 4.1, il faut que l’hypot´ enuse du triangle en θ soit plus
petite que 1/2. De cette mani` ere, l’aiguille chevauchera forc´ ement la droite. On
a donc la condition suivante sur X
x
cos θ
<
1
2
⇔ x <
cos θ
2
.
La probabilit´ e que l’aiguille touche une droite est donc
P
(θ,x) ∈
0,
π
2
×
0,
cos θ
2
=
π/2
0
cos θ/2
0
4
π
dxdθ =
=
π/2
0
4
π
x
x=cos θ/2
x=0
dθ =
π/2
0
2 cos θ
π
dθ =
2
π
sin θ
θ=π/2
θ=0
=
2
π
.
x
Fig. 4.1 – Illustration de l’exercice 4.6.
(b) L’esp´ erance de Z peut se calculer de mani` ere rapide pour ´ eviter
l’int´ egrale de f Z (z)
E(Z) = E(E(Y | X)) = E(Y ) =
1
0
y
2 +
3
2
y
3
dy =
17
24
.
4.6
Les lois marginales de X et θ sont uniformes et leur fonction de densit´ e sont
f θ (θ) =
2
π
,
0 < θ <
π
2
et
f X (x) = 2,
0 < x <
1
2
.
Les variables al´ eatoires X et θ sont ind´ ependantes et, par cons´ equent, la densit´ e
conjointe de X et θ est
f (x,θ) =
4
π
.
Au vu de la figure 4.1, il faut que l’hypot´ enuse du triangle en θ soit plus
petite que 1/2. De cette mani` ere, l’aiguille chevauchera forc´ ement la droite. On
a donc la condition suivante sur X
x
cos θ
<
1
2
⇔ x <
cos θ
2
.
La probabilit´ e que l’aiguille touche une droite est donc
P
(θ,x) ∈
0,
π
2
×
0,
cos θ
2
=
π/2
0
cos θ/2
0
4
π
dxdθ =
=
π/2
0
4
π
x
x=cos θ/2
x=0
dθ =
π/2
0
2 cos θ
π
dθ =
2
π
sin θ
θ=π/2
θ=0
=
2
π
.