92 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4.3
Soit X la variable al´ eatoire qui correspond au r´ esultat du 1
er d´ e et Y celle
qui correspond au 2
e . Sous forme de tableau, mes gains sont :
X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 X = 5 X = 6
Y = 1
10
10
10
10
10
10
Y = 2
10
10
10
10
10
10
Y = 3
10
10
0
0
0
0
Y = 4
10
10
0
0
0
0
Y = 5
10
10
0
0
−40
−40
Y = 6
10
10
0
0
−40
−40
Chaque occurrence arrive avec une probabilit´ e de 1/36. Par cons´ equent, l’esp´ erance de mes gains sur 1 lancer est la somme du tableau divis´ ee par 36
E(G) =
1
36
(10 · 20 + 0 · 12 − 40 · 4) =
10
9
.
Pour n lancers, l’esp´ erance devient
E(gain total) = nE(G) =
10
9
n,
et comme on cherche n tel que le gain total soit ´ egal `
a 1 000, on trouve n = 900.
4.4
1. Le domaine d’int´ egration est d´ efini par les relations X
2 Y > 1, X > 1 et
Y > 0. Autrement dit, on int` egre y de 1/x
2 ` a l’infini et x sur tout son
domaine.
P (X
2 Y > 1) =
∞
1
∞
1/x 2
exp(−x
2 y)dy
dx
=
∞
1
−
1
x 2 exp(−x
2 y)
y=∞
y=1/x 2
dx
=
∞
1
1
x 2 e
−1 dx = −e
−1 1
x
x=∞
x=1
= e
−1 .
2. La densit´ e marginale de X est
f X (x) =
∞
0
exp(−x
2 y)dy =
−
1
x 2 exp(−x
2 y)
y=∞
y=0
=
1
x 2 , x ≥ 1.
Pour la densit´ e marginale de Y , il faut int´ egrer une fonction de type
gaussien (e
−x
2 ). Pour y parvenir, nous allons faire apparaˆ ıtre la densit´ e