4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 91
Corrig´ es
4.1
Apr` es avoir d´ enombr´ e toutes les possibilit´ es, on repr´ esente les probabilit´ es
de chaque occurrence des couples (X, Y ) dans le tableau suivant.
X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 somme
Y = 0
0
0
0
1/8
1/8
Y = 1
1/8
1/4
1/8
0
1/2
Y = 2
0
1/8
1/8
0
1/4
Y = 3
0
0
1/8
0
1/8
somme
1/8
3/8
3/8
1/8
1
Par exemple
P (Y = 1, X = 1) = P (F P F ou F F P ),
o` u F et P repr´ esentent respectivement un tirage « face » et « pile ». On retrouve
les lois marginales de X et Y dans la ligne et la colonne « somme ».
4.2
1. La loi de probabilit´ e de X est
P (X = x) =
1
4
,
x∈ {1, 2, 3, 4},
et celle de Y | X = x
P (Y = y | X = x) =
1
10 − (x − 1)
,
y ∈ {x, x + 1, . . . , 10}.
2. La loi de probabilit´ e conjointe de X et Y est obtenue par la relation
P (X = x, Y = y) = P (Y = y | X = x)P (X = x), y ≥ x, x ∈ 1, 2, 3, 4.
Sous forme de tableau r´ ecapitulatif, cela donne :
Y =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X = 1 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40
X = 2
0
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
X = 3
0
0
1/32 1/32 1/32 1/32 1/32 1/32 1/32 1/32
X = 4
0
0
0
1/28 1/28 1/28 1/28 1/28 1/28 1/28