88 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4.22
Pour chaque automobiliste, les compagnies d’assurance d´ eterminent un indicateur B de qualit´ e de conduite qui est li´ e ` a la classe de bonus de l’automobiliste. Des petites valeurs de B caract´ erisent un bon automobiliste qui se trouve
dans une classe ` a bas risque.
Des ´ etudes actuarielles indiquent que la distribution de la variable al´ eatoire B
dans la population des automobilistes d’une certaine r´ egion est une distribution
exponentielle avec esp´ erance 0,1.
Soit N i le nombre d’accidents durant l’ann´ ee i (` a partir de la date de l’obtention
du permis de conduire) pour un automobiliste donn´ e. Le nombre annuel d’accidents caus´ es par un automobiliste, ´ etant donn´ e B = b, suit une distribution
de Poisson de param` etre b. On suppose aussi que, ´ etant donn´ e B = b, il y a
ind´ ependance entre le nombre d’accidents caus´ es par un automobiliste durant
une certaine ann´ ee et ceux des ann´ ees suivantes ou pr´ ec´ edentes.
1. Quelle est la probabilit´ e qu’un automobiliste tir´ e au hasard n’ait aucun
accident pendant les 3 premi` eres ann´ ees d’observation?
2. On observe un automobiliste tir´ e au hasard. Soit K la variable al´ eatoire
qui d´ esigne la 1
re ann´ ee pendant laquelle cet automobiliste cause un accident. D´ eterminer la loi de K, c’est-` a-dire P (K = k) pour k = 0, 1, 2, . . .
3. D´ eterminer l’esp´ erance conditionnelle E(K | B).
4.23
On s’int´ eresse ` a ´ evaluer la qualit´ e des investisseurs institutionnels. On mod´ elise celle-ci ` a l’aide d’une variable al´ eatoire X ` a 4 modalit´ es (1, 2, 3, 4) :
« 4 = tr` es bonne connaissance du march´ e », « 3 = bonne connaissance du
march´ e », « 2 = faible connaissance du march´ e » et « 1 = aucune connaissance du march´ e ». Pour comprendre la r´ epartition des investisseurs entre ces
4 classes, on connaˆ ıt la diff´ erence entre les pr´ evisions donn´ ees par un groupe
d’investisseurs et la valeur r´ eelle du march´ e mesur´ ee par le Dow Jones et le
Nasdaq. On notera D la variable al´ eatoire repr´ esentant cette diff´ erence entre
le Dow Jones et la pr´ evision d’un investisseur donn´ e et N entre le Nasdaq et
la pr´ evision de ce mˆ eme investisseur. On suppose que D suit une loi normale
avec esp´ erance 10 (unit´ es en 10
3 $) et variance 2, et N une loi normale avec
esp´ erance 3 et variance 1. Enfin, soit Y (α) la variable al´ eatoire qui repr´ esente
la somme pond´ er´ ee des diff´ erences entre les pr´ evisions et les valeurs r´ eelles,
c’est-` a-dire Y (α) = αD + (1 − α)N , o` u α est un coefficient positif connu.
1. Calculer la distribution de E(Y (α)) et var(Y (α)) en sachant que la corr´ elation entre D et N est 0,8.
2. Trouver la distribution de Y (α) en supposant pour simplifier que D et N
sont ind´ ependantes.
3. En utilisant le point 2., calculer la densit´ e de la variable al´ eatoire Z =
exp(−Y (α)).
4.22
Pour chaque automobiliste, les compagnies d’assurance d´ eterminent un indicateur B de qualit´ e de conduite qui est li´ e ` a la classe de bonus de l’automobiliste. Des petites valeurs de B caract´ erisent un bon automobiliste qui se trouve
dans une classe ` a bas risque.
Des ´ etudes actuarielles indiquent que la distribution de la variable al´ eatoire B
dans la population des automobilistes d’une certaine r´ egion est une distribution
exponentielle avec esp´ erance 0,1.
Soit N i le nombre d’accidents durant l’ann´ ee i (` a partir de la date de l’obtention
du permis de conduire) pour un automobiliste donn´ e. Le nombre annuel d’accidents caus´ es par un automobiliste, ´ etant donn´ e B = b, suit une distribution
de Poisson de param` etre b. On suppose aussi que, ´ etant donn´ e B = b, il y a
ind´ ependance entre le nombre d’accidents caus´ es par un automobiliste durant
une certaine ann´ ee et ceux des ann´ ees suivantes ou pr´ ec´ edentes.
1. Quelle est la probabilit´ e qu’un automobiliste tir´ e au hasard n’ait aucun
accident pendant les 3 premi` eres ann´ ees d’observation?
2. On observe un automobiliste tir´ e au hasard. Soit K la variable al´ eatoire
qui d´ esigne la 1
re ann´ ee pendant laquelle cet automobiliste cause un accident. D´ eterminer la loi de K, c’est-` a-dire P (K = k) pour k = 0, 1, 2, . . .
3. D´ eterminer l’esp´ erance conditionnelle E(K | B).
4.23
On s’int´ eresse ` a ´ evaluer la qualit´ e des investisseurs institutionnels. On mod´ elise celle-ci ` a l’aide d’une variable al´ eatoire X ` a 4 modalit´ es (1, 2, 3, 4) :
« 4 = tr` es bonne connaissance du march´ e », « 3 = bonne connaissance du
march´ e », « 2 = faible connaissance du march´ e » et « 1 = aucune connaissance du march´ e ». Pour comprendre la r´ epartition des investisseurs entre ces
4 classes, on connaˆ ıt la diff´ erence entre les pr´ evisions donn´ ees par un groupe
d’investisseurs et la valeur r´ eelle du march´ e mesur´ ee par le Dow Jones et le
Nasdaq. On notera D la variable al´ eatoire repr´ esentant cette diff´ erence entre
le Dow Jones et la pr´ evision d’un investisseur donn´ e et N entre le Nasdaq et
la pr´ evision de ce mˆ eme investisseur. On suppose que D suit une loi normale
avec esp´ erance 10 (unit´ es en 10
3 $) et variance 2, et N une loi normale avec
esp´ erance 3 et variance 1. Enfin, soit Y (α) la variable al´ eatoire qui repr´ esente
la somme pond´ er´ ee des diff´ erences entre les pr´ evisions et les valeurs r´ eelles,
c’est-` a-dire Y (α) = αD + (1 − α)N , o` u α est un coefficient positif connu.
1. Calculer la distribution de E(Y (α)) et var(Y (α)) en sachant que la corr´ elation entre D et N est 0,8.
2. Trouver la distribution de Y (α) en supposant pour simplifier que D et N
sont ind´ ependantes.
3. En utilisant le point 2., calculer la densit´ e de la variable al´ eatoire Z =
exp(−Y (α)).