4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 87
4.19
Soient X et Y 2 variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que X ∼ Bin(n, p)
et Y ∼ Bin(m, p). On d´ efinit Z = X + Y .
1. Quelle est la distribution de Z ?
2. Quelle est la distribution de X | Z ?
3. Trouver E(X | Z).
4.20
Soient X et Y 2 variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi U(0, 1). Quelle est
la densit´ e de X + Y ?
Exercices combin´ es
4.21
Soit X une variable al´ eatoire binaire qui repr´ esente « l’´ etat d’incertitude sur
la sc` ene internationale ». Supposons pour simplifier que X ne puisse admettre
que 2 ´ etats not´ es N (« situation normale ») et E (« situation exceptionnelle »,
comme par exemple une guerre ou un attentat). Soit P (X = N ) = 0,95. De
plus, on consid` ere le rendement R d’un actif financier qui suit le mod` ele stochastique
log(R) = −
σ
2
2
+ σY,
o` u σ > 0 et Y est une variable al´ eatoire dont la distribution conditionnelle
sachant {X = N } est N (0, 1), et sachant {X = E} est N (0, 5
2 ).
1. Interpr´ eter ce mod` ele : quel effet veut-on capturer avec la distribution
conditionnelle postul´ ee?
2. Calculer l’esp´ erance et la variance de Y .
3. En utilisant le point 2., d´ eduire l’esp´ erance et la variance de Z = log(R).
4. ´
Ecrire la densit´ e f Y (y) de Y et, en utilisant le fait que la somme de 2 variables al´ eatoires normales reste une variable al´ eatoire normale, donner
la distribution de Y .
5. Montrer que R suit la distribution
f R (r) =
1
4,4πσ 2
e
−(log r+
σ 2
2 )
2 /(4,4σ
2 )
r
,
c’est-` a-dire la loi log-normale de param` etres (−σ
2 /2, 2,2σ
2 ).