86 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4.16
La variable al´ eatoire S =
n
i=1 X i est une somme de variables al´ eatoires
ind´ ependantes de mˆ eme distribution. Calculer son esp´ erance, sa variance et sa
distribution lorsque :
1. chaque X i suit une loi de Poisson de param` etre λ ;
2. chaque X i suit une loi Gamma de param` etres λ et k.
4.17
On consid` ere un portefeuille avec 2 actifs. Son rendement R p s’exprime
comme combinaison lin´ eaire des rendements R 1 et R 2 des 2 actifs : R p = a 1 R 1 +
(1 − a 1 )R 2 . On connaˆ ıt les rendements moyens µ 1 et µ 2 , les risques σ 1 et σ 2 et
la corr´ elation entre les 2 actifs ρ 12 .
1. Exprimer le risque σ p du portefeuille en fonction de la proportion a 1 du
premier actif.
2. Quelle doit ˆ etre la proportion a 1 du 1
er actif pour que le risque du portefeuille soit minimal?
3. On note µ p le rendement moyen du portefeuille. Exprimer σ p en fonction
de µ p .
4. Cas particulier : µ 1 = 14 %, µ 2 = 8 %, σ 1 = 6 %, σ 2 = 3 %.
Pour ρ 12 = 0, on a le tableau suivant :
a 1
0,00 0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
µ P
8,00 9,20 10,40 11,60 12,80 14,00
σ P
3,00 2,68
3,00
3,79
4,84
6,00
Faire des tableaux semblables pour ρ 12 = 1, 0, 5 et −1.
5. Repr´ esenter les courbes des portefeuilles possibles dans l’espace des risques et des rendements moyens. Par convention dans ce domaine, σ p est
en abscisse et µ p en ordonn´ ee.
4.18
Le nombre de clients se rendant ` a un grand magasin donn´ e dans l’espace
d’une journ´ ee est une variable al´ eatoire suivant une loi de Poisson de param` etre 50. La somme d´ epens´ ee par chacun des clients quotidiens du magasin est
une variable al´ eatoire d’esp´ erance 8 e. On admet que les d´ epenses d’un client
ne d´ ependent ni de celles des autres clients, ni du nombre total de clients pour
la journ´ ee.
Quelle est l’esp´ erance du chiffre d’affaires quotidien du magasin?
4.16
La variable al´ eatoire S =
n
i=1 X i est une somme de variables al´ eatoires
ind´ ependantes de mˆ eme distribution. Calculer son esp´ erance, sa variance et sa
distribution lorsque :
1. chaque X i suit une loi de Poisson de param` etre λ ;
2. chaque X i suit une loi Gamma de param` etres λ et k.
4.17
On consid` ere un portefeuille avec 2 actifs. Son rendement R p s’exprime
comme combinaison lin´ eaire des rendements R 1 et R 2 des 2 actifs : R p = a 1 R 1 +
(1 − a 1 )R 2 . On connaˆ ıt les rendements moyens µ 1 et µ 2 , les risques σ 1 et σ 2 et
la corr´ elation entre les 2 actifs ρ 12 .
1. Exprimer le risque σ p du portefeuille en fonction de la proportion a 1 du
premier actif.
2. Quelle doit ˆ etre la proportion a 1 du 1
er actif pour que le risque du portefeuille soit minimal?
3. On note µ p le rendement moyen du portefeuille. Exprimer σ p en fonction
de µ p .
4. Cas particulier : µ 1 = 14 %, µ 2 = 8 %, σ 1 = 6 %, σ 2 = 3 %.
Pour ρ 12 = 0, on a le tableau suivant :
a 1
0,00 0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
µ P
8,00 9,20 10,40 11,60 12,80 14,00
σ P
3,00 2,68
3,00
3,79
4,84
6,00
Faire des tableaux semblables pour ρ 12 = 1, 0, 5 et −1.
5. Repr´ esenter les courbes des portefeuilles possibles dans l’espace des risques et des rendements moyens. Par convention dans ce domaine, σ p est
en abscisse et µ p en ordonn´ ee.
4.18
Le nombre de clients se rendant ` a un grand magasin donn´ e dans l’espace
d’une journ´ ee est une variable al´ eatoire suivant une loi de Poisson de param` etre 50. La somme d´ epens´ ee par chacun des clients quotidiens du magasin est
une variable al´ eatoire d’esp´ erance 8 e. On admet que les d´ epenses d’un client
ne d´ ependent ni de celles des autres clients, ni du nombre total de clients pour
la journ´ ee.
Quelle est l’esp´ erance du chiffre d’affaires quotidien du magasin?