4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 85
Loi normale multivari´ ee
4.12
Soit X 1 , . . . , X n n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N (0,1).
1. Trouver la densit´ e conjointe f (x 1 , . . . , x n ) de (X 1 , . . . , X n ).
2. Repr´ esenter les courbes de niveau (pour le cas n = 2) f (x 1 ,x 2 ) = C.
4.13
Les ventes annuelles du rayon jouets d’une grande surface sont repr´ esent´ ees par une variable al´ eatoire normale X d’esp´ erance µ X et de variance σ
2
X .
Le b´ en´ efice l’est par une variable al´ eatoire normale Y d’esp´ erance µ Y et de
variance σ
2
Y . Le param` etre ρ XY d´ esigne la corr´ elation entre les ventes et le
b´ en´ efice.
1. Si les ventes s’´ el` event ` a un montant x, quelle est la densit´ e de probabilit´ e
du b´ en´ efice?
2. Quelle est la densit´ e de E(Y | X)?
4.14
Supposons que l’indice Dow Jones, not´ e D, soit une variable al´ eatoire distribu´ ee selon la loi N (ν, τ
2 ). Soit S le Swiss Market Index. La densit´ e conditionnelle de S sachant que D = d est une loi normale d’esp´ erance d et de
variance σ
2 .
1. Quelle est la distribution conjointe du couple (D, S)?
2. Quelle est la distribution conditionnelle de D sachant que S = s?
3. `
A partir de donn´ ees historiques on connaˆ ıt les valeurs de ν, τ et σ. Ayant
observ´ e une valeur s pour le Swiss Market Index, calculer le meilleur
pr´ edicteur pour l’indice Dow Jones.
Combinaisons lin´ eaires de variables al´ eatoires
4.15
Soit S une variable al´ eatoire binomiale de param` etres n et p. Repr´ esenter S
comme une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes et calculer l’esp´ erance
et la variance de S.
Loi normale multivari´ ee
4.12
Soit X 1 , . . . , X n n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N (0,1).
1. Trouver la densit´ e conjointe f (x 1 , . . . , x n ) de (X 1 , . . . , X n ).
2. Repr´ esenter les courbes de niveau (pour le cas n = 2) f (x 1 ,x 2 ) = C.
4.13
Les ventes annuelles du rayon jouets d’une grande surface sont repr´ esent´ ees par une variable al´ eatoire normale X d’esp´ erance µ X et de variance σ
2
X .
Le b´ en´ efice l’est par une variable al´ eatoire normale Y d’esp´ erance µ Y et de
variance σ
2
Y . Le param` etre ρ XY d´ esigne la corr´ elation entre les ventes et le
b´ en´ efice.
1. Si les ventes s’´ el` event ` a un montant x, quelle est la densit´ e de probabilit´ e
du b´ en´ efice?
2. Quelle est la densit´ e de E(Y | X)?
4.14
Supposons que l’indice Dow Jones, not´ e D, soit une variable al´ eatoire distribu´ ee selon la loi N (ν, τ
2 ). Soit S le Swiss Market Index. La densit´ e conditionnelle de S sachant que D = d est une loi normale d’esp´ erance d et de
variance σ
2 .
1. Quelle est la distribution conjointe du couple (D, S)?
2. Quelle est la distribution conditionnelle de D sachant que S = s?
3. `
A partir de donn´ ees historiques on connaˆ ıt les valeurs de ν, τ et σ. Ayant
observ´ e une valeur s pour le Swiss Market Index, calculer le meilleur
pr´ edicteur pour l’indice Dow Jones.
Combinaisons lin´ eaires de variables al´ eatoires
4.15
Soit S une variable al´ eatoire binomiale de param` etres n et p. Repr´ esenter S
comme une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes et calculer l’esp´ erance
et la variance de S.