84 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
l’intervalle (-2, 3). Le temps de stationnement ` a la gare Y est ind´ ependant de X
et est uniform´ ement distribu´ e sur l’intervalle (3, 5). Le train ne quitte jamais
la gare avant 12 h 07. Trouver la fonction de distribution de Z, le retard avec
lequel le train quitte la gare.
Indication : exprimer Z en fonction de X et Y et utiliser une repr´ esentation
graphique dans le plan (x, y).
4.9
La densit´ e conjointe des variables al´ eatoires X et Y est donn´ ee par
f (x, y) =
e
−
x
y e
−y /y si 0 < x < ∞, 0 < y < ∞
0
s i n o n .
Calculer P (X > 1 | Y = y).
4.10
La densit´ e conjointe de X et Y est donn´ ee par
f (x,y) =
3
√
3
4π
exp
−
3
2
(x
2 + y
2
− xy)
, (x,y) ∈ R
2 .
1. Trouver les densit´ es marginales f X (x) et f Y (y).
Indication : utiliser les propri´ et´ es de l’int´ egrale d’une densit´ e normale.
2. Les variables al´ eatoires X et Y sont-elles ind´ ependantes?
3. Trouver la densit´ e conditionnelle f X|Y (x | y).
4. Calculer E(X | Y = y).
Quelle est la distribution de la variable al´ eatoire E(X | Y )?
4.11
Soient X et Y les scores ` a 2 examens. Les donn´ ees historiques montrent une
d´ ependance entre X et Y qui est mod´ elis´ ee par la densit´ e bivari´ ee
f X,Y (x,y) =
1
756 (x
2 + xy), si 0 < x < 6 et 0 < y < 6
0
s i n o n .
1. Trouver la densit´ e marginale f X (x).
2. Trouver la densit´ e conditionnelle f Y |X (y).
3. Calculer P (X < Y ).
4. Calculer le meilleur pr´ edicteur E(Y | X) et donner son esp´ erance et sa
distribution.