4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 83
2. Calculer les densit´ es marginales f X (x) et f Y (y).
X et Y sont-elles ind´ ependantes?
4.5
Les variables al´ eatoires X et Y ont la densit´ e conjointe
f (x, y) =
2xy +
3
2 y
2 0 < x < 1, 0 < y < 1
0
s i n o n .
1. V´ erifier que f (x, y) est une densit´ e.
2. Trouver les densit´ es marginales f X (x) et f Y (y).
3. Trouver les densit´ es conditionnelles f X|Y =y (x) et f Y |X=x (y).
4. Calculer P ((X, Y ) ∈ [0,
1
2 ] × [0,
1
2 ]).
5. Trouver P (X < Y ).
6. Trouver E(Y | X = x).
7. Soit la variable al´ eatoire Z = E(Y | X).
(a) Quelle est la distribution de Z ?
(b) Trouver E(Z).
4.6 (Probl` eme de Buffon)
Sur un plan on trace des droites parall` eles distantes d’une unit´ e de longueur.
On y jette au hasard une aiguille de longueur 1. On rep` ere l’aiguille grˆ ace ` a la
distance X entre le milieu de celle-ci et la parall` ele la plus proche et grˆ ace ` a
l’angle θ entre l’aiguille et une perpendiculaire aux lignes. On suppose que X
suit la loi uniforme sur (0, 1/2), que θ suit la loi uniforme sur (0, π/2) et que X
et θ sont ind´ ependants. Donner la loi du couple (X, θ) et trouver la probabilit´ e
que l’aiguille rencontre une des droites (l’alternative ´ etant que l’aiguille soit
compl` etement situ´ ee dans une des bandes d´ elimit´ ees par les lignes).
4.7
Marine et Laure se sont donn´ ees rendez-vous ` a l’Arena `
a 20 h 30 environ.
Si Marine arrive entre 20 h 15 et 20 h 45 et si Laure arrive ind´ ependamment
entre 20 h 00 et 21 h 00, trouver la probabilit´ e que celle qui arrive en premier
n’attende pas plus que 5 minutes. Quelle est la probabilit´ e que Marine arrive
en premier? (On consid` ere que les arriv´ ees sont uniform´ ement distribu´ ees.)
4.8
Selon l’horaire, un train doit arriver `
a la gare `
a 12 h 00 et la quitter `
a 12 h 07.
Le retard X, en minutes, de l’arriv´ ee ` a la gare est uniform´ ement distribu´ e sur
2. Calculer les densit´ es marginales f X (x) et f Y (y).
X et Y sont-elles ind´ ependantes?
4.5
Les variables al´ eatoires X et Y ont la densit´ e conjointe
f (x, y) =
2xy +
3
2 y
2 0 < x < 1, 0 < y < 1
0
s i n o n .
1. V´ erifier que f (x, y) est une densit´ e.
2. Trouver les densit´ es marginales f X (x) et f Y (y).
3. Trouver les densit´ es conditionnelles f X|Y =y (x) et f Y |X=x (y).
4. Calculer P ((X, Y ) ∈ [0,
1
2 ] × [0,
1
2 ]).
5. Trouver P (X < Y ).
6. Trouver E(Y | X = x).
7. Soit la variable al´ eatoire Z = E(Y | X).
(a) Quelle est la distribution de Z ?
(b) Trouver E(Z).
4.6 (Probl` eme de Buffon)
Sur un plan on trace des droites parall` eles distantes d’une unit´ e de longueur.
On y jette au hasard une aiguille de longueur 1. On rep` ere l’aiguille grˆ ace ` a la
distance X entre le milieu de celle-ci et la parall` ele la plus proche et grˆ ace ` a
l’angle θ entre l’aiguille et une perpendiculaire aux lignes. On suppose que X
suit la loi uniforme sur (0, 1/2), que θ suit la loi uniforme sur (0, π/2) et que X
et θ sont ind´ ependants. Donner la loi du couple (X, θ) et trouver la probabilit´ e
que l’aiguille rencontre une des droites (l’alternative ´ etant que l’aiguille soit
compl` etement situ´ ee dans une des bandes d´ elimit´ ees par les lignes).
4.7
Marine et Laure se sont donn´ ees rendez-vous ` a l’Arena `
a 20 h 30 environ.
Si Marine arrive entre 20 h 15 et 20 h 45 et si Laure arrive ind´ ependamment
entre 20 h 00 et 21 h 00, trouver la probabilit´ e que celle qui arrive en premier
n’attende pas plus que 5 minutes. Quelle est la probabilit´ e que Marine arrive
en premier? (On consid` ere que les arriv´ ees sont uniform´ ement distribu´ ees.)
4.8
Selon l’horaire, un train doit arriver `
a la gare `
a 12 h 00 et la quitter `
a 12 h 07.
Le retard X, en minutes, de l’arriv´ ee ` a la gare est uniform´ ement distribu´ e sur