82 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Exercices
Lois conjointes, marginales et conditionnelles
4.1
On lance 3 fois une pi` ece de monnaie. D´ efinissons X la variable al´ eatoire qui
compte le nombre de piles et Y le num´ ero du lancement qui donne face pour
la 1
re fois. (On pose Y = 0 si l’on n’obtient pas de face en 3 jets.) Trouver les
probabilit´ es P (X = i, Y = j) pour (i, j) ∈ {0, 1, 2, 3} × {0, 1, 2, 3}. Constater
que
i,j P (X = i, Y = j) = 1.
4.2
Soit X un chiffre choisi al´ eatoirement parmi les entiers 1, 2, 3, 4. Soit Y
un autre chiffre choisi al´ eatoirement parmi les chiffres au moins aussi grands
que X, mais inf´ erieurs ou ´ egaux `
a 10.
1. Trouver la loi de probabilit´ e de X et la loi de probabilit´ e conditionnelle
de Y | X = x pour tout x ∈ {1, 2, 3, 4}.
2. D´ eterminer la loi de probabilit´ e conjointe de (X, Y ).
4.3
Je viens d’ouvrir une loterie ´ ecologique. Les clients en ont en effet assez de
ces syst` emes informatiques compliqu´ es auxquels ils ne comprennent rien. Ici, il
s’agit seulement de lancer une paire de d´ es ordinaires, apr` es avoir pay´ e 10 e.
On note le plus petit des 2 r´ esultats (ou le r´ esultat unique en cas d’´ egalit´ e). Si
c’est 1 ou 2 on perd les 10 e. Si c’est 3 ou 4, on rejoue. Si c’est 5 ou 6, je donne
une excellente bouteille de champagne, qui me revient ` a 50 e. Comme vous
l’imaginez, la simplicit´ e de mon syst` eme de loterie fait fureur (ainsi que son
appellation ´ ecologique) et je gagne en moyenne 1 000 e par jour. `
A combien
de lancers de d´ es par jour cela correspond?
4.4
Les variables al´ eatoires X et Y ont la densit´ e conjointe
f (x,y) =
e
−x
2 y
si x ≥ 1 et y ≥ 0
0
sinon.
1. Calculer P (X
2 Y > 1).
Exercices
Lois conjointes, marginales et conditionnelles
4.1
On lance 3 fois une pi` ece de monnaie. D´ efinissons X la variable al´ eatoire qui
compte le nombre de piles et Y le num´ ero du lancement qui donne face pour
la 1
re fois. (On pose Y = 0 si l’on n’obtient pas de face en 3 jets.) Trouver les
probabilit´ es P (X = i, Y = j) pour (i, j) ∈ {0, 1, 2, 3} × {0, 1, 2, 3}. Constater
que
i,j P (X = i, Y = j) = 1.
4.2
Soit X un chiffre choisi al´ eatoirement parmi les entiers 1, 2, 3, 4. Soit Y
un autre chiffre choisi al´ eatoirement parmi les chiffres au moins aussi grands
que X, mais inf´ erieurs ou ´ egaux `
a 10.
1. Trouver la loi de probabilit´ e de X et la loi de probabilit´ e conditionnelle
de Y | X = x pour tout x ∈ {1, 2, 3, 4}.
2. D´ eterminer la loi de probabilit´ e conjointe de (X, Y ).
4.3
Je viens d’ouvrir une loterie ´ ecologique. Les clients en ont en effet assez de
ces syst` emes informatiques compliqu´ es auxquels ils ne comprennent rien. Ici, il
s’agit seulement de lancer une paire de d´ es ordinaires, apr` es avoir pay´ e 10 e.
On note le plus petit des 2 r´ esultats (ou le r´ esultat unique en cas d’´ egalit´ e). Si
c’est 1 ou 2 on perd les 10 e. Si c’est 3 ou 4, on rejoue. Si c’est 5 ou 6, je donne
une excellente bouteille de champagne, qui me revient ` a 50 e. Comme vous
l’imaginez, la simplicit´ e de mon syst` eme de loterie fait fureur (ainsi que son
appellation ´ ecologique) et je gagne en moyenne 1 000 e par jour. `
A combien
de lancers de d´ es par jour cela correspond?
4.4
Les variables al´ eatoires X et Y ont la densit´ e conjointe
f (x,y) =
e
−x
2 y
si x ≥ 1 et y ≥ 0
0
sinon.
1. Calculer P (X
2 Y > 1).