78 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.36
Soit X une variable al´ eatoire suivant une loi de Dagum.
1. La fonction de densit´ e de X est la d´ eriv´ ee par rapport `
a x de la fonction
de r´ epartition, soit
f β,λ,δ (x) =
∂F β,λ,δ (x)
∂x
= βλδx
−δ−1 (1 + λx
−δ )
−β−1 ,
avec x > 0.
2. On cherche premi` erement l’´ equation d’un α-quantile q α pour la loi de
Dagum
α = (1 + λq
−δ
α )
−β
⇔ q α = λ
1/δ (α
−1/β
− 1)
−1/δ .
`
A l’aide des donn´ ees de l’´ enonc´ e, on obtient
q 0,5 140,4
q 0,25 92,5
q 0,75 206,3.
L’esp´ erance n’est pas ´ egale `
a la m´ ediane parce que la distribution n’est
pas sym´ etrique.
3. L’emploi de la loi normale est inadapt´ e dans ce cas car la distribution des
revenus est asym´ etrique, `
a l’inverse de la loi normale.
4. Soit y = 0,8x et sa fonction de r´ epartition
F β ,λ ,δ (y) = (1 + λ(0,8x)
−δ )
−β = (1 + 0,8
−δ λx
−δ )
−β = (1 + λ
x−δ
)
−β
,
o` u λ
= 0,8
−δ λ, β
= β et δ
= δ. Donc, λ est un param` etre d’´ echelle.
3.37
On sait que si une variable al´ eatoire X a une fonction de r´ epartition F X (x),
alors la variable al´ eatoire Y d´ efinie comme Y = F X (X) suit une loi uniforme
sur l’intervalle (0, 1) (cf. exercice 3.27). Dans le cas pr´ esent, on dispose d´ ej` a d’un
´ echantillon d’une loi uniforme (0, 1), donc de r´ ealisations de Y , et on cherche ` a
obtenir des r´ ealisation d’une loi de Dagum. On d´ efinit alors X = F
−1 (Y ) avec
F la fonction de r´ epartition de la loi de Dagum calcul´ ee dans l’exercice 3.36.
En d’autres termes, on calcule les quantiles de u 1 , . . . , u 30
q ui = λ
1/δ (u
−1/β
i
− 1)
−1/δ .