3. Variables al´ eatoires continues 79
3.38
1. On a que (M − 3) ∼ ε(λ), avec λ =
1
2 . Cela implique E(M − 3) =
1
λ et
var(M − 3) =
1
λ 2 . Dans notre cas E(M ) = 2 + 3 = 5 et var(M ) = 4.
2. La fonction de densit´ e est f M (m) = λe
−λ(m−3) pour m ≥ 3.
3. Par la formule du changement de variable (transformation monotone), la
densit´ e de X = exp(M ) est donn´ ee par
f X (x) = f M (m) ·
1
x = λe
−λ(log(x)−3) 1
x
= λe
3λ x
−(λ+1) , pour x ≥ e
3 .
La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par
F X (x) =



x
e 3
λe
3λ y
−(λ+1) dy = 1 − e
3λ x
−λ
x ≥ e
3
0
s i n o n .
4. La plus faible magnitude est d´ efinie par min(M 1 , M 2 ) et
P (min(M 1 , M 2 ) > 4) = P (M 1 > 4 et M 2 > 4)
= P (M 1 > 4)P (M 2 > 4)
= e
−λ e
−λ = e
−1
0,36.
5. Par le th´ eor` eme des fonctions inverses (cf. exercice 3.27) on a u = F X (x) =
1 − e
3λ x
−λ et donc x i =
e
3
(1−ui) 1/λ , i = 1, . . . , n.
3.39
On commence par isoler R 0,n de l’´ equation de l’´ enonc´ e
R 0,n =
S n
S 0
1/n
− 1.
On utilise ensuite l’indication pour obtenir
R 0,n =
n
t=1
S t
S t−1
1/n
− 1 = exp
1
n
n
t=1
log
S t
S t−1
− 1 = e
Y
− 1.
Par hypoth` ese
log
S t
S t−1
∼ N (µ, σ
2 )
et par cons´ equent Y ∼ N(µ, σ
2 /n), ou encore e
Y suit une loi log-normale
d’esp´ erance µ et de variance σ
2 /n. On trouve dans les tables
E(R 0,n ) = exp
µ +
σ
2
n
− 1