76 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. On cherche ` a pr´ esent la valeur s = s max qui maximise E(B). On utilise
∂
∂s
s
−∞
xf X (x)dx = sf X (s)
pour calculer la d´ eriv´ ee par rapport `
a s de E(B)
∂E(B)
∂s
= 5 − 15(F X (s) + sf X (s)) + 15sf X (s) = 5 − 15F X (s).
La valeur s max est la solution de ∂E(B)/∂s = 0, donc
5 − 15F X (s max ) = 0 ⇔ F X (s max ) =
1
3
,
et finalement
Φ

 s max − 100
200
3

 =
1
3
⇔
s max − 100
200
3
= −0,43 ⇔ s max 97.
3.33
Commen¸ cons par la fonction de r´ epartition de Y
F Y (y) = P (Y < y) = P (min(X i ) < y) = 1 − P (min(X i ) > y).
Si min(X i ) est sup´ erieur ` a y, cela signifie que le plus petit des X i est sup´ erieur
` a y, ou encore que tous les X i sont plus grands que y. Par cons´ equent,
F Y (y) = 1 − (P (X 1 > y))
n = 1 − (1 − F X (y))
n = 1 − (1 − y)
n .
En d´ erivant F Y (y) par rapport `
a y, on a la fonction de densit´ e de y, `
a savoir
f Y (y) = n(1 − y)
n−1 , 0 < y < 1.
3.34
1. ´
Etant donn´ e l’ind´ ependance de X 1 , . . . , X n , on a
F T (t) = P (T < t) = P (max(X 1 , . . . , X n ) < t)
= P (X 1 < t, X 2 < t, . . . , X n < t)
= (P (X 1 < t))
n = (F X (t))
n .
2. La densit´ e de T est donn´ ee par f T (t) =
d
dt F T (t) = n (F X (t))
n−1 f X (t).
En utilisant la d´ efinition de f X (x) et
F X (x) =



0
x ≤ 0
x
2
θ 2
0 < x ≤ θ
1
x > θ,