3. Variables al´ eatoires continues 75
3.31
1. Soit S(t) = P (T > t) et λ(t) = −
d
dt log S(t).
Donc S(t) = exp
−
t
0
λ(s)ds
. Dans notre cas
t
0
λ(s) ds =
t
0
ds
a + s
= log
a + t
a
et S(t) =
a
a+t .
2. Puisque S(t) = 1 − F (t), la m´ ediane est la valeur de t qui r´ esout
a
a + t
=
1
2
,
c’est-` a-dire t = a.
3. Le param` etre a est le temps de passage ` a des probabilit´ es de survie sup´ erieures ` a 50 %.
4. Par le th´ eor` eme des fonctions inverses
F T (t) = 1 − S(t) =
t
a + t
= u
pour t > 0. Donc
t i =
au i
1 − u i
,
pour i = 1, . . . , n.
3.32
La demande journali` ere de journaux X suit une distribution normale de
param` etres (100, 200/3).
1. Le b´ en´ efice B en centimes s’´ ecrit
B =
5s
si X ≥ s
5X − 10(s − X) sinon.
L’esp´ erance de B est alors
E(B) =
s
−∞
[5x − 10(s − x)]f X (x)dx +
∞
s
5sf X (x)dx
= 15
s
−∞
xf X (x)dx − 10s
s
−∞
f X (x)dx + 5s
1 −
s
−∞
f X (x)dx
= 5s − 15sF X (s) + 15
s
−∞
xf X (x)dx.