74 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
soit inf´ erieur ` a 1/4, il faut que X/(L − X) < 1/4 ou (L − X)/X < 1/4. On
trouve alors la probabilit´ e
P
X
L − X
<
1
4
ou
L − X
X
<
1
4
= P
X <
L
5
+ P
X >
4L
5
=
L/5
L
+
1 −
4L/5
L
=
2
5
.
3.30
1. On suppose que le risque est constant :
h(t) = λ = −
∂
∂t
log S(t),
donc
−λt = log S(t) + C ⇔ S(t) = e
−λt−C .
On trouve alors la fonction F (t) suivante
F (t) = 1 − e
−λt−C .
Pour que F (t) soit une fonction de r´ epartition, il faut imposer C = 0 pour
que F (0) = 0. La fonction F (t) se trouve ˆ etre la fonction de r´ epartition
d’une loi exponentielle de param` etre λ.
2. `
A pr´ esent, on cherche la densit´ e de la fonction de survie des malades si
la fonction de risque est
h(t) = λκ(λt)
κ−1 .
On calcule une primitive H(t) de la fonction h(t) :
H(t) = (λt)
κ + C
et on en d´ eduit
S(t) = exp(−(λt)
κ
− C).
Comme pr´ ec´ edemment, on impose C = 0 pour obtenir la fonction de
r´ epartition
F (t) = 1 − exp(−(λt)
κ )
et la fonction de densit´ e correspondante
f (t) = λκ(λt)
κ−1 exp(−(λt)
κ ).
Cette fonction est celle d’une variable al´ eatoire suivant une loi de Weibull.