3. Variables al´ eatoires continues 73
2. Calculons l’esp´ erance de S
E(S) =
36π
0
sf S (s)ds =
1
36π
36π
0
3s −
s
3/2
√
4π
ds
=
1
36π
3
2
s
2
−
2
5
s
5/2
√
4π
36π
0
=
54
5
π.
3.27
La variable al´ eatoire X a une fonction de r´ epartition F X (x). Soit Y =
F X (X) une nouvelle variable al´ eatoire. Sa fonction de r´ epartition est
F Y (y) = P (Y < y) = P (F X (X) < y) = P (X < F
−1
X (y)) = F X (F
−1
X (y)) = y,
pour 0 < y < 1. Par cons´ equent, la variable al´ eatoire Y a une distribution
uniforme sur l’intervalle (0, 1).
3.28
Soient T la dur´ ee de vie d’une pi` ece et P l’´ ev´ enement « la pi` ece est pirat´ ee ».
On sait que P (P ) = 1/4, que T | P suit une loi exponentielle avec esp´ erance 5
et que T | P suit une loi exponentielle d’esp´ erance 2. En sachant que la pi` ece
a surv´ ecu jusqu’au temps t, la probabilit´ e qu’elle soit pirat´ ee est
π(t) = P (P | T > t) =
P (T > t | P )P (P )
P (T > t | P )P (P ) + P (T > t | P )P (P )
=
e
−
1
2 t
·
1
4
e −
1
2 t ·
1
4 + e −
1
5 t ·
3
4
=
1
1 + 3e
3
10 t
,
car
P (T > t) =
∞
t
λe
−λt dt,
avec λ =
1
2 ou λ =
1
5 (cf. exercice 3.4). Lorsque t tend vers l’infini
lim
t→∞
π(t) = 0.
3.29
Soit X la position du point sur le segment. On suppose que X suit une loi
uniforme (0, L). Pour que le rapport entre le plus petit et le plus grand segment
2. Calculons l’esp´ erance de S
E(S) =
36π
0
sf S (s)ds =
1
36π
36π
0
3s −
s
3/2
√
4π
ds
=
1
36π
3
2
s
2
−
2
5
s
5/2
√
4π
36π
0
=
54
5
π.
3.27
La variable al´ eatoire X a une fonction de r´ epartition F X (x). Soit Y =
F X (X) une nouvelle variable al´ eatoire. Sa fonction de r´ epartition est
F Y (y) = P (Y < y) = P (F X (X) < y) = P (X < F
−1
X (y)) = F X (F
−1
X (y)) = y,
pour 0 < y < 1. Par cons´ equent, la variable al´ eatoire Y a une distribution
uniforme sur l’intervalle (0, 1).
3.28
Soient T la dur´ ee de vie d’une pi` ece et P l’´ ev´ enement « la pi` ece est pirat´ ee ».
On sait que P (P ) = 1/4, que T | P suit une loi exponentielle avec esp´ erance 5
et que T | P suit une loi exponentielle d’esp´ erance 2. En sachant que la pi` ece
a surv´ ecu jusqu’au temps t, la probabilit´ e qu’elle soit pirat´ ee est
π(t) = P (P | T > t) =
P (T > t | P )P (P )
P (T > t | P )P (P ) + P (T > t | P )P (P )
=
e
−
1
2 t
·
1
4
e −
1
2 t ·
1
4 + e −
1
5 t ·
3
4
=
1
1 + 3e
3
10 t
,
car
P (T > t) =
∞
t
λe
−λt dt,
avec λ =
1
2 ou λ =
1
5 (cf. exercice 3.4). Lorsque t tend vers l’infini
lim
t→∞
π(t) = 0.
3.29
Soit X la position du point sur le segment. On suppose que X suit une loi
uniforme (0, L). Pour que le rapport entre le plus petit et le plus grand segment