72 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.24
Soit Z = 1/V une nouvelle variable al´ eatoire dont on aimerait connaˆ ıtre la
distribution. Sa fonction de r´ epartition est
F Z (z) = P (Z < z) = P
1
V
< z
= P
V >
1
z
= 1 − F V
1
z
.
On d´ erive cette fonction pour obtenir la densit´ e de Z
f Z (z) = −f V
1
z
−
1
z 2
=
1
z 2
1
π(1 +
1
z 2 )
=
1
π(z 2 + 1)
.
La variable al´ eatoire Z est aussi une variable al´ eatoire suivant une loi de Cauchy.
3.25
On va s’int´ eresser ` a la variable al´ eatoire S = L
2 .
1. La fonction de densit´ e de S peut ˆ etre calcul´ ee ` a partir de la fonction de
r´ epartition de S
F S (s) = P (S < s) = P (L
2 < s) = P (L <
√
S) = F L (
√
s)
⇒ f S (s) =
1
2
√
s
f L (
√
s) =
1
2
√
s
6
√
s(1 −
√
s) = 3(1 −
√
s), 0 < s < 1.
2. L’esp´ erance de S est alors
E(S) =
1
0
sf S (s)ds =
1
0
3s(1 −
√
s)ds = 3
1
0
(s − s
3/2 )ds
= 3
1
2
s
2
−
2
5
s
5/2
s=1
s=0
=
3
10
.
3.26
1. Trouvons la fonction de r´ epartition de S = 4πR
2 :
F S (s) = P (S < s) = P (4πR
2 < s)
= P
R <
s
4π
= F R
s
4π
.
Sa fonction de densit´ e est donc
f S (s) = f R
s
4π
∂
∂s
s
4π
=
2
9
s
4π
3 −
s
4π
1
4
√
sπ
=
1
36π
3 −
s
4π
, 0 ≤ s ≤ 36π.