3. Variables al´ eatoires continues 71
o` u Φ est la fonction de r´ epartition et ϕ la fonction de densit´ e d’une variable
al´ eatoire normale centr´ ee et r´ eduite.
3.22
1. L’´ egalit´ e suivante doit ˆ etre v´ erifi´ ee
∞
5
k
x α dx = 1,
ce qui implique
k =
1
∞
5 x −α dx
.
L’int´ egrale s’´ ecrit
∞
5
x
−α dx =
1
1 − α
x
1−α
t=∞
t=5
=
1
α − 1
5
1−α .
Il faut que α > 1 pour que la fonction de r´ epartition reste positive. On
trouve par cons´ equent
k = (α − 1)5
α−1 .
2. Calculons la fonction de r´ epartition de X
F X (x) =
x
5
(α − 1)5
α−1 t
−α dt = −5
α−1 t
1−α
t=x
t=5
= 1 −
5
x
α−1
,
pour x > 5.
3. Soit Y = ln(X/5). Sa fonction de r´ epartition est
F Y (y) = P (Y < y) = P
ln
X
5
< y
= P (X < 5e
y ) = F X (5e
y ) = 1 − exp(−y(α − 1)), y > 0
et sa fonction de distribution
f Y (y) = (α − 1) exp(−y(α − 1)), y > 0.
La variable al´ eatoire Y suit une loi exponentielle de param` etre α − 1.
3.23
La variable al´ eatoire X suit une distribution de Pareto et on cherche la loi
de la variable al´ eatoire Y = ln(X) = g(X). On utilise la formule de changement
de variable pour transformations monotones
f Y (y) = f X (g
−1 (y))
∂g
−1 (y)
∂x
= αx
α
0 exp(−y(1 + α)) exp(y) = α exp(α(y 0 − y)),
avec y > y 0 = log x 0 .