3. Variables al´ eatoires continues 69
3.18
La fonction de r´ epartition de Y est
F Y (y) = P (Y < y) = P (X
2 < y) =
= P (−
√
y < X <
√ y) = F X (−
√
y) − F X (
√
y).
D´ erivons par rapport `
a y pour obtenir la densit´ e
∂F Y (y)
∂y
= f Y (y) =
1
2
√
y
f X (−
√
y) +
1
2
√
y
f X (
√
y) =
1
√
y
f X (
√
y),
o` u, dans la derni` ere ´ egalit´ e, on a utilis´ e la parit´ e de la fonction de densit´ e de
la loi normale. Finalement, on trouve la fonction de distribution (illustr´ ee par
la figure 3.3)
f Y (y) =
1
√
2πy
exp
−
y
2
.
y
fY(y)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0
1
2
3
4
Fig. 3.3 – Fonction de distribution d’une variable al´ eatoire χ
2 ` a
un degr´ e de libert´ e (exercice 3.18).