68 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.15
Soit X le taux d’alcool en pourcentage mesur´ e lors d’un alcootest. La variable al´ eatoire X a une distribution normale d’esp´ erance µ = 0,07 et d’´ ecarttype σ = 0,01.
La proportion d’automobilistes recevant une amende est
P (X > 0,08) = 1 − Φ
0,08 − 0,07
0,01
= 1 − Φ(1) 0,16,
et celle d’automobilistes se faisant retirer le permis parmi ceux ayant re¸ cu une
amende est
P (X > 0,09 | X > 0,08) =
P (X > 0,09 ∩ X > 0,08)
P (X > 0,08)
=
=
P (X > 0,09)
P (X > 0,08)
=
1 − Φ(2)
1 − Φ(1)
0,14.
3.16
Soit X la dur´ ee de grossesse. La variable al´ eatoire X suit une loi normale
avec param` etres (270, 100). La probabilit´ e que la conception de l’enfant ait eu
lieu plus de 290 jours ou moins de 240 jours avant sa naissance est
P (X > 290 ou X < 240) =
= P (X > 290) + P (X < 240) = (1 − Φ(2)) + (1 − Φ(3)) 0,021.
3.17
Soit X la variable al´ eatoire repr´ esentant la vitesse mesur´ ee. Cette variable
al´ eatoire suit une loi normale (72, 64).
1. La proportion de conducteurs qui recevront une amende est ´ egale `
a la
probabilit´ e que X soit plus grand que 80, soit
P (X > 80) = P
Z >
80 − 72
8
= 1 − Φ(1) 16 %,
Z suivant une loi normale centr´ ee et r´ eduite.
2. On cherche la probabilit´ e conditionnelle de mesurer une vitesse sup´ erieure
` a 110 en sachant que le conducteur est d´ ej` a passible d’une amende. On
calcule donc
P (X > 110 | X > 80) =
P (X > 110 ∩ X > 80)
P (X > 80)
=
=
P (X > 110)
P (X > 80)
=
1 − Φ(4,75)
1 − Φ(1)
0.
La probabilit´ e est presque nulle.