3. Variables al´ eatoires continues 67
3.12
Soit X la taille en centim` etres d’un pygm´ ee ˆ ag´ e de 25 ans. Elle suit une loi
normale d’esp´ erance 140 et de variance 36.
1. Le pourcentage de pygm´ ees qui mesurent plus que 150 cm est
P (X > 150) = 1 − Φ
150 − 140
6
1 − Φ(1,67) 4,8 %.
2. On cherche la probabilit´ e qu’un pygm´ ee mesure plus de 150 cm sachant
qu’il en mesure au moins 145
P (X > 150 | X > 145) =
P (X > 150 ∩ X > 145)
P (X > 145)
=
=
P (X > 150)
P (X > 145)
1 − Φ(1,67)
1 − Φ(0,83)
23,5 %.
3.13
Soit X la taille en centim` etres d’un homme ˆ ag´ e de 30 ans. X suit une
distribution normale de param` etres (175, 36).
1. Le pourcentage d’hommes de 30 ans mesurant plus que 185 cm est
P (X > 185) = 1 − Φ
185 − 175
6
1 − Φ(1,67) 4,8 %.
2. La probabilit´ e qu’un homme mesurant plus de 180 cm d´ epasse 192 cm
est
P (X > 192 | X > 180) =
P (X > 192 ∩ X > 180)
P (X > 180)
=
=
P (X > 192)
P (X > 180)
1 − Φ(2,83)
1 − Φ(0,83)
1,1 %.
3.14
Pour d´ eterminer la variance σ
2 et l’esp´ erance µ de X, on utilise l’information
sur les probabilit´ es pour ´ ecrire 2 ´ equations, o` u Z est une variable provenant
d’une loi normale centr´ ee et r´ eduite
P
Z >
190−µ
σ
= 0,1
P
Z >
50−µ
σ
= 0,05
⇔
190−µ
σ
= Φ(0,9) 1,28
50−µ
σ
= Φ(0,05) −1,65,
ce qui nous permet d’obtenir finalement µ 129 et σ 47,8.