3. Variables al´ eatoires continues 65
2. On cherche la probabilit´ e que la dur´ ee de vie d’une t´ el´ evision soit sup´ erieure `
a 10 ans en sachant qu’elle a d´ ej` a 2 ans
P (X > 10 | X > 2) =
P (X > 10 ∩ X > 2)
P (X > 2)
=
P (X > 10)
P (X > 2)
=
e
−5/4
e −1/4 = e
−1 .
Le r´ esultat est le mˆ eme qu’en 1., car la loi exponentielle est sans m´ emoire.
3. Calculons l’esp´ erance de X
E(X) =
∞
0
x
8
e
−
x
8 dx = −xe
−
x
8
x=∞
x=0
=0
+
∞
0
e
−
x
8 dx = −8e
−
x
8
x=∞
x=0
= 8.
Pour d´ eterminer la variance de X, on va utiliser la relation var(X) =
E(X
2 ) − E(X)
2 . Le 2
e moment s’obtient de la mani` ere suivante
E(X
2 ) =
∞
0
x
2
8
e
−
x
8 dx = −x
2 e
−
x
8
x=∞
x=0
=0
+16
∞
0
x
8
e
−
x
8 dx
=E(X)=8
= 2 · 8
2 ,
et donc
var(X) = E(X
2 ) − E(X)
2 = 2 · 8
2
− 8
2 = 64.
On remarque que var(X) = E(X)
2 .
3.11
Soient X (respectivement Y ) la longueur des pi` eces produites par la machine A (respectivement B). Les variables al´ eatoires X et Y suivent une loi
normale de param` etres (8,4) et (7, 5,1).
1. On cherche la machine qui a la plus grande probabilit´ e de fabriquer des
pi` eces dont la longueur appartient ` a l’intervalle [7, 9]. Premi` erement
P (7 ≤ X ≤ 9) = P (−0,5 ≤ Z ≤ 0,5) = 2Φ(0,5) − 1 0,38,
o` u Z est une variable al´ eatoire de distribution normale centr´ ee et r´ eduite.
Pour la 2
e machine
P (7 ≤ Y ≤ 9) = P (−0,5 ≤ Z ≤ 1,5) 0,62.
On en conclut que la machine B est meilleure que la machine A.
2. Soit X
∗ une nouvelle variable al´ eatoire qui d´ ecrit la taille des pi` eces produites par la machine A. Cette variable a la mˆ eme esp´ erance que X et
on cherche sa variance σ
2 de telle sorte que les machines soient de qualit´ e
´ egale. On veut donc
P (7 ≤ X
∗
≤ 9) = P
−
1
σ
≤ Z ≤
1
σ
= 2P
Z ≤
1
σ
− 1 = 0,62.