64 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. La fonction de r´ epartition se calcule en 2 ´ etapes ; d’abord pour 0 ≤ x ≤ 3
F X (x) =
x
0
t
9
dt =
x
2
18
,
et ensuite pour 3 ≤ x ≤ 6
F X (x) =
3
0
t
9
dt +
x
3
6 − t
9
dt =
t
2
18
t=3
t=0
+
6t − t
2 /2
9
t=x
t=3
=
6x − x
2 /2
9
− 1.
On obtient alors la fonction de r´ epartition
F X (x) =

  
  
0
s i x < 0
x
2 /18
si 0 ≤ x < 3
1
9 (6x − x
2 /2) − 1 si 3 ≤ x < 6
1
s i x ≥ 6.
3. Les ´ ev´ enements A et B sont ind´ ependants si
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
On calcule les 3 termes pour v´ erifier (ou infirmer) la derni` ere ´ egalit´ e :
P (A) = P (X ≥ 3) = 1 − F X (3) =
1
2
,
puis
P (B) = P (1,5 ≤ X ≤ 4,5) = F X (4,5) − F X (1,5) =
7
8
−
1
8
=
3
4
,
et finalement
P (A ∩ B) = P (3 ≤ X ≤ 4,5) = F X (4,5) − F X (3) =
7
8
−
1
2
=
3
8
.
On v´ erifie donc bien que P (A)P (B) = 3/8, ce qui signifie que les 2 ´ ev´ enements sont ind´ ependants.
3.10
1.
P (X > 8) =
∞
8
f (x)dx =
∞
8
1
8
e
−
x
8 dx = −e
−
x
8
x=∞
x=8
= e
−1
0,37.
La probabilit´ e que la t´ el´ evision ait une dur´ ee de vie sup´ erieure `
a 8 ans
est d’approximativement 37 %.