3. Variables al´ eatoires continues 63
3.8
1.
P (X > 20) = 1 −
20
10
10
x 2 dx = 1 −
−
10
x
x=20
x=10
= 1 − 0,5 = 0,5.
2. La primitive de f (x) est
F (x) = −
10
x
+ C.
Pour d´ eterminer C, on utilise le fait que F (x = 10) = 0 et ainsi,
C = F (10) +
10
10
= 1.
Finalement
F X (x) =
0
s ix < 10
1 − 10/x si x ≥ 10.
3. On calcule en premier la probabilit´ e qu’un composant fonctionne au moins
15 heures
P (X ≥ 15) = 1 − F X (15) =
2
3
.
On fait ensuite l’hypoth` ese que les dur´ ees de fonctionnement des composants sont ind´ ependantes, ce qui implique que si Y est la variable al´ eatoire
qui d´ ecrit le nombre de composants fonctionnant au moins 15 heures, elle
suit une loi binomiale de param` etres (6, 2/3). Par cons´ equent, la probabilit´ e qu’au moins 3 composants fonctionnent plus de 15 heures est
P (Y ≥ 3) =
6
k=3
P (Y = k) =
656
729
0,90.
4. Calculons l’esp´ erance de X
E(X) =
∞
10
10
x
dx = 10 log(x)
x=∞
x=10
= ∞.
L’esp´ erance de X est infinie.
3.9
1. Pour trouver la valeur de c, on utilise le fait que l’int´ egrale de la fonction
de distribution f (x) sur le domaine de d´ efinition de x est ´ egale `
a 1. Ainsi
∞
−∞
f (x)dx =
3
0
cxdx +
6
3
c(6 − x)dx
= c
x
2
2
x=3
x=0
+c
6x −
x
2
2
x=6
x=3
=
9
2
c +
9
2
c = 9c
⇔ c =
1
9
.