62 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.7
1. Pour d´ eterminer C et λ, on va utiliser
∞
0
Cv exp(−λv)dv = 1
et
E(V ) =
∞
0
Cv
2 exp(−λv)dv = 80.
(a)
∞
0
Cv exp(−λv)dv =
parties
=
−
1
λ
Cv exp(−λv)
v=∞
v=0
=0
+C
∞
0
1
λ
exp(−λv)dv
=
−
C
λ 2 exp(−λv)
v=∞
v=0
=
C
λ 2 = 1
⇔ C = λ
2 ,
(b)
C
∞
0
v
2 exp(−λv)dv =
parties
=
−
1
λ
Cv
2 exp(−λv)
v=∞
v=0
=0
+C
∞
0
1
λ
2v exp(−λv)dv
=
2
λ
∞
0
Cv exp(−λv)dv
=1
=
2
λ
= 80
⇔
λ =
1
40
⇒ C =
1
1 600
.
2. Soit T =
40
V . Sa fonction de r´ epartition est
F T (t) = P (T < t) = P
40
V
< t
= P
V >
40
t
= 1 − F V
40
t
.
On en d´ eduit sa fonction de distribution :
f T (t) =
40
t 2 f V
40
t
=
1
t 3 exp
−
1
t
,
et finalement, on calcule l’esp´ erance de T :
E(T ) =
∞
0
t
1
t 3 exp
−
1
t
dt =
∞
0
1
t 2 exp
−
1
t
dt
= exp
−
1
t
t=∞
t=0
= 1.