3. Variables al´ eatoires continues 61
x
f(x) et f_{3,0.05}(x)
−4
−2
0
2
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Fig. 3.1 – f (x) en trait continu et f ε,b (x), avec ε = 0,05 et b = 3
en pointill´ es.
3.6
1. f (x) est positive et
+∞
−∞
f (x)dx = (1 − ε)
+∞
−∞
f (x)dx + ε
+∞
−∞
1
b f (
x
b )dx
= (1 − ε) + ε
+∞
−∞
1
b bf (t)dt = (1 − ε) + ε
+∞
−∞
f (t)dt = 1
par le changement de variable t = x/b.
2. f (x) = ϕ(x), o` u ϕ est la densit´ e d’une variable al´ eatoire N (0,1)
E(X) =
+∞
−∞
xf ε,b (x)dx =
+∞
−∞
(1 − ε)xϕ(x)dx +
+∞
−∞
ε
b xϕ(
x
b )dx
= (1 − ε)
+∞
−∞
xϕ(x)dx + ε
+∞
−∞
x
b ϕ(
x
b )dx = 0.
var(X) = E(X
2 ) = (1 − ε)
+∞
−∞
x
2 ϕ(x)dx + ε
+∞
−∞
x
2
b ϕ(
x
b )dx
= (1 − ε) + εb
2 = 1 + ε(b
2
− 1)
3. f ε,b (x), avec ε = 0,05 et b = 3, est une densit´ e centr´ ee en 0 et avec des
queues plus longues que f (x), cf. figure 3.1.