60 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Le α-quantile q α est d´ efini comme
q α = F
−1
X (α).
On en d´ eduit que pour la loi exponentielle,
q α = −
1
λ
log(1 − α).
3.5
1. Pour d´ eterminer la constante de normalisation, on utilise le fait que
∞
−∞ f (x)dx = 1. Ainsi
∞
−∞
f (x)dx =
a
−a
c(a)(a
2
− x
2 )dx = c(a)
a
2 x −
x
3
3
a
−a
=
4
3
c(a)a
3 = 1
et
c(a) =
3
4a 3 .
2. La fonction de r´ epartition pour −a ≤ x ≤ a est
F X (x) =
x
−a
3
4a 3 (a
2
− t
2 )dt =
3
4a 3
2a
3
3
+ a
2 x −
x
3
3
,
et globalement
F X (x) =

 
 
0
s i x < −a
3
4a 3
2a
3
3 + a
2 x −
x
3
3
si |x| ≤ a
1
s i x > a.
3. L’esp´ erance de X est
E(X) =
a
−a
3
4a 3 x(a
2
− x
2 )dx =
3
4a 3
a
2 x
2
2
−
x
4
4
x=a
x=−a
= 0
car la fonction `
a ´ evaluer est paire en x et prise sur un intervalle sym´ etrique
autour de 0. Le 2
e moment de X est alors ´ egal `
a la variance de X, ce qui
implique
var(X) = E(X
2 ) =
=
a
−a
3
4a 3 x
2 (a
2
− x
2 )dx =
3
4a 3
a
2 x
3
3
−
x
5
5
x=a
x=−a
=
a
2
5
.