56 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.36
Lorsqu’on s’int´ eresse aux distributions de revenu, on peut faire un histogramme ` a partir des donn´ ees. Pour ´ etudier certaines propri´ et´ es, il est utile
de disposer d’un mod` ele se pr´ esentant sous la forme d’une densit´ e ajustant
l’histogramme. Dans ce contexte, la distribution de Dagum se d´ efinit par
F β,λ,δ (x) = (1 + λx
−δ )
−β
o` u x est positif, β > 0, λ > 0 et δ > 1.
1. Quelle est sa densit´ e?
2. On prend les param` etres β = 0,71, λ = 7 883 000, δ = 3,11.
Quelle est la m´ ediane, c’est-` a-dire x M tel que F (x M ) =
1
2 ?
L’esp´ erance sera-t-elle ´ egale `
a la m´ ediane?
Quels sont les quartiles inf´ erieurs et sup´ erieurs?
Indication : trouver la r´ eciproque de F . (Pour cela, poser F (x) = z et
obtenir x = G(z) ; G est la r´ eciproque de F .)
3. Pourquoi l’emploi de la loi normale est-il inadapt´ e ` a l’´ etude des distributions de revenu?
4. Si pour le mˆ eme probl` eme on change d’unit´ e mon´ etaire, disons que la
nouvelle unit´ e mon´ etaire y vaut 0,80x, quels sont les param` etres β
, λ
, et
δ
de la distribution de Dagum associ´ ee ` a y ? En d´ eduire une interpr´ etation
pour le param` etre λ.
3.37
Si l’on dispose de 30 r´ ealisations d’une loi uniforme u 1 , . . . , u 30 , comment
obtenir 30 r´ ealisations d’une loi de Dagum ? (Indication : s’inspirer des exercices 3.27 et 3.36.)
3.38
Un tremblement de terre de magnitude M lib` ere une ´ energie X telle que
M = log(X). Pour des tremblements de terre de magnitude sup´ erieure `
a 3, on
suppose que (M − 3) suit une distribution exponentielle avec esp´ erance 2. Pour
les tremblements de terre de magnitude sup´ erieure `
a 3, calculer :
1. E(M ) et V ar(M ) ;
2. la densit´ e de M ;
3. la densit´ e et la fonction de r´ epartition de X ;
4. la probabilit´ e que la magnitude du plus faible soit sup´ erieure `
a 4, ´ etant
donn´ e 2 tremblements de terre avec magnitudes M 1 et M 2 ind´ ependantes.
5. On souhaite simuler `
a l’ordinateur les ´ energies lib´ er´ ees par un tremblement de terre. Construire un algorithme permettant de simuler n ´ energies
3.36
Lorsqu’on s’int´ eresse aux distributions de revenu, on peut faire un histogramme ` a partir des donn´ ees. Pour ´ etudier certaines propri´ et´ es, il est utile
de disposer d’un mod` ele se pr´ esentant sous la forme d’une densit´ e ajustant
l’histogramme. Dans ce contexte, la distribution de Dagum se d´ efinit par
F β,λ,δ (x) = (1 + λx
−δ )
−β
o` u x est positif, β > 0, λ > 0 et δ > 1.
1. Quelle est sa densit´ e?
2. On prend les param` etres β = 0,71, λ = 7 883 000, δ = 3,11.
Quelle est la m´ ediane, c’est-` a-dire x M tel que F (x M ) =
1
2 ?
L’esp´ erance sera-t-elle ´ egale `
a la m´ ediane?
Quels sont les quartiles inf´ erieurs et sup´ erieurs?
Indication : trouver la r´ eciproque de F . (Pour cela, poser F (x) = z et
obtenir x = G(z) ; G est la r´ eciproque de F .)
3. Pourquoi l’emploi de la loi normale est-il inadapt´ e ` a l’´ etude des distributions de revenu?
4. Si pour le mˆ eme probl` eme on change d’unit´ e mon´ etaire, disons que la
nouvelle unit´ e mon´ etaire y vaut 0,80x, quels sont les param` etres β
, λ
, et
δ
de la distribution de Dagum associ´ ee ` a y ? En d´ eduire une interpr´ etation
pour le param` etre λ.
3.37
Si l’on dispose de 30 r´ ealisations d’une loi uniforme u 1 , . . . , u 30 , comment
obtenir 30 r´ ealisations d’une loi de Dagum ? (Indication : s’inspirer des exercices 3.27 et 3.36.)
3.38
Un tremblement de terre de magnitude M lib` ere une ´ energie X telle que
M = log(X). Pour des tremblements de terre de magnitude sup´ erieure `
a 3, on
suppose que (M − 3) suit une distribution exponentielle avec esp´ erance 2. Pour
les tremblements de terre de magnitude sup´ erieure `
a 3, calculer :
1. E(M ) et V ar(M ) ;
2. la densit´ e de M ;
3. la densit´ e et la fonction de r´ epartition de X ;
4. la probabilit´ e que la magnitude du plus faible soit sup´ erieure `
a 4, ´ etant
donn´ e 2 tremblements de terre avec magnitudes M 1 et M 2 ind´ ependantes.
5. On souhaite simuler `
a l’ordinateur les ´ energies lib´ er´ ees par un tremblement de terre. Construire un algorithme permettant de simuler n ´ energies