3. Variables al´ eatoires continues 55
2. Quel est approximativement le nombre de journaux qu’il doit acheter afin
de maximiser l’esp´ erance de son b´ en´ efice?
3.33
Soient n parts budg´ etaires ind´ ependantes X 1 , . . . , X n suivant une loi uniforme dans l’intervalle (0, 1). Calculer la fonction de r´ epartition et la densit´ e
de Y = min(X 1 , . . . , X n ).
3.34
Un analyste financier dispose de donn´ ees historiques X 1 , . . . ,X n de rendement d’une certaine action. On suppose par simplicit´ e que ces observations
sont ind´ ependantes avec fonction de r´ epartition F X (x) et densit´ e f X (x). Soit
T = max(X 1 , . . . , X n ) la variable al´ eatoire qui repr´ esente le rendement maximal.
1. Montrer que F T (t) = (F X (t))
n , o` u F T (t) est la fonction de r´ epartition
de T .
2. Soit
f X (x) =
2
θ 2 x si 0 < x < θ
0
sinon.
Dans ce cas, calculer E(T ).
3. Sous les conditions du point 2., calculer la probabilit´ e que le rendement
maximal soit sup´ erieur ` a un certain seuil a.
3.35
La fluctuation journali` ere du prix de l’action d’une soci´ et´ e donn´ ee, cot´ ee en
bourse, est une variable al´ eatoire d’esp´ erance 0 et de variance σ
2 . Cela veut
dire que, si Y n repr´ esente le prix de l’action du n
e jour
Y n = Y n−1 + U n , n > 1,
o` u U 1 , U 2 , . . . sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes identiquement distribu´ ees d’esp´ erance 0 et de variance σ
2 . Supposons que le prix de l’action soit
aujourd’hui de 100, c’est-` a-dire Y 1 = y 1 = 100, et que σ
2 = 1.
Donner une borne inf´ erieure pour la probabilit´ e que le prix de l’action sera
compris entre 95 et 105 dans 10 jours, en utilisant l’in´ egalit´ e de Chebychev.
2. Quel est approximativement le nombre de journaux qu’il doit acheter afin
de maximiser l’esp´ erance de son b´ en´ efice?
3.33
Soient n parts budg´ etaires ind´ ependantes X 1 , . . . , X n suivant une loi uniforme dans l’intervalle (0, 1). Calculer la fonction de r´ epartition et la densit´ e
de Y = min(X 1 , . . . , X n ).
3.34
Un analyste financier dispose de donn´ ees historiques X 1 , . . . ,X n de rendement d’une certaine action. On suppose par simplicit´ e que ces observations
sont ind´ ependantes avec fonction de r´ epartition F X (x) et densit´ e f X (x). Soit
T = max(X 1 , . . . , X n ) la variable al´ eatoire qui repr´ esente le rendement maximal.
1. Montrer que F T (t) = (F X (t))
n , o` u F T (t) est la fonction de r´ epartition
de T .
2. Soit
f X (x) =
2
θ 2 x si 0 < x < θ
0
sinon.
Dans ce cas, calculer E(T ).
3. Sous les conditions du point 2., calculer la probabilit´ e que le rendement
maximal soit sup´ erieur ` a un certain seuil a.
3.35
La fluctuation journali` ere du prix de l’action d’une soci´ et´ e donn´ ee, cot´ ee en
bourse, est une variable al´ eatoire d’esp´ erance 0 et de variance σ
2 . Cela veut
dire que, si Y n repr´ esente le prix de l’action du n
e jour
Y n = Y n−1 + U n , n > 1,
o` u U 1 , U 2 , . . . sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes identiquement distribu´ ees d’esp´ erance 0 et de variance σ
2 . Supposons que le prix de l’action soit
aujourd’hui de 100, c’est-` a-dire Y 1 = y 1 = 100, et que σ
2 = 1.
Donner une borne inf´ erieure pour la probabilit´ e que le prix de l’action sera
compris entre 95 et 105 dans 10 jours, en utilisant l’in´ egalit´ e de Chebychev.