54 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.29
Un point est choisi au hasard sur un segment de longueur L.
Trouver la probabilit´ e que le rapport entre le plus petit et le plus grand segment
soit inf´ erieur ` a 1/4.
3.30
Afin de d´ efinir une politique sociale `
a long terme, on d´ esire ´ etudier l’´ evolution du sida. On s’int´ eresse alors ` a mod´ eliser la fonction de survie des malades.
Notons S(t) = 1 − F (t) la fonction de survie et h(t) = −
∂ log S(t)
∂t
la fonction de
risque (hazard function).
1. Dans un 1
er temps on va supposer que le risque est constant, c’est-` a-dire
que h(t) = λ. Trouver la fonction de densit´ e des donn´ ees. De quelle loi
s’agit-il?
2. En 2
e lieu on supposera que h(t) = λκ(λt)
κ−1 . Trouver la fonction de
densit´ e des donn´ ees. De quelle loi s’agit-il?
3.31
En analysant les temps de survie des start-up, on note que plus la soci´ et´ e
a ´ et´ e en activit´ e et plus petite est la probabilit´ e qu’elle fasse faillite le mois
prochain. Ceci implique une fonction de risque λ(t) d´ ecroissante avec le temps t.
Un mod` ele utilis´ e est λ(t) = (a + t)
−1 , t > 0, o` u a est un param` etre positif.
1. Calculer la fonction de survie P (T > t), o` u T repr´ esente le temps de
survie.
2. Quelle est la m´ ediane de T ?
3. En utilisant 2., donner une interpr´ etation du param` etre a.
4. Proposer un algorithme pour simuler `
a l’ordinateur des temps de survie
t 1 , . . . , t n ` a partir d’une s´ erie u 1 , . . . , u n de r´ ealisations d’une variable
al´ eatoire uniforme dans l’intervalle (0, 1).
3.32
Un vendeur de journaux ach` ete ses journaux 10 centimes et les revend
15 centimes. Cependant, il ne peut pas se faire rembourser les exemplaires
invendus.
La demande journali` ere X est une variable al´ eatoire normale de param` etres
µ = 100 et σ
2 = 200/3.
1. Si s est le nombre de journaux qu’il ach` ete, donner l’esp´ erance de son
b´ en´ efice en fonction de s et de f X , la fonction de densit´ e de X.
3.29
Un point est choisi au hasard sur un segment de longueur L.
Trouver la probabilit´ e que le rapport entre le plus petit et le plus grand segment
soit inf´ erieur ` a 1/4.
3.30
Afin de d´ efinir une politique sociale `
a long terme, on d´ esire ´ etudier l’´ evolution du sida. On s’int´ eresse alors ` a mod´ eliser la fonction de survie des malades.
Notons S(t) = 1 − F (t) la fonction de survie et h(t) = −
∂ log S(t)
∂t
la fonction de
risque (hazard function).
1. Dans un 1
er temps on va supposer que le risque est constant, c’est-` a-dire
que h(t) = λ. Trouver la fonction de densit´ e des donn´ ees. De quelle loi
s’agit-il?
2. En 2
e lieu on supposera que h(t) = λκ(λt)
κ−1 . Trouver la fonction de
densit´ e des donn´ ees. De quelle loi s’agit-il?
3.31
En analysant les temps de survie des start-up, on note que plus la soci´ et´ e
a ´ et´ e en activit´ e et plus petite est la probabilit´ e qu’elle fasse faillite le mois
prochain. Ceci implique une fonction de risque λ(t) d´ ecroissante avec le temps t.
Un mod` ele utilis´ e est λ(t) = (a + t)
−1 , t > 0, o` u a est un param` etre positif.
1. Calculer la fonction de survie P (T > t), o` u T repr´ esente le temps de
survie.
2. Quelle est la m´ ediane de T ?
3. En utilisant 2., donner une interpr´ etation du param` etre a.
4. Proposer un algorithme pour simuler `
a l’ordinateur des temps de survie
t 1 , . . . , t n ` a partir d’une s´ erie u 1 , . . . , u n de r´ ealisations d’une variable
al´ eatoire uniforme dans l’intervalle (0, 1).
3.32
Un vendeur de journaux ach` ete ses journaux 10 centimes et les revend
15 centimes. Cependant, il ne peut pas se faire rembourser les exemplaires
invendus.
La demande journali` ere X est une variable al´ eatoire normale de param` etres
µ = 100 et σ
2 = 200/3.
1. Si s est le nombre de journaux qu’il ach` ete, donner l’esp´ erance de son
b´ en´ efice en fonction de s et de f X , la fonction de densit´ e de X.